第 10.1反常积分概 10.2元穷积分的收数性 判别
第十章反常积分 10.1 反常积分概念 10.2 无穷积分的收敛性质与判别 10.3 瑕积分的性质与收敛判别
10.1反常积分概念 引例 、无穷限的广义积分 积分
10.1 反常积分概念 一 、 引例 二、无穷限的广义积分 三、无界函数的广义积分
引入 例:求曲线y=2,x轴及直线x=1,右边所围成的“开口 曲边梯形”的面积 解:由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 y 向是开口的,即这是的积 分区间为[1,∞), 0 b x 故vb>1则A的面积为1=[-=1 显然当b改变时,曲边梯形的面积也随之改变, 故b→+时,即m∫1x=m(1-)=1 则所求曲边梯形的面积为1
一 . 引入 例： 曲边梯形”的面积。 求曲线 , 轴及直线 1，右边所围成的“开口 1 2 = x x = x y 0 x y 1 b 2 x 1 y = 解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这是的积 分区间为[1，∞）， x b dx x b A b b 1 ] 1 1 [ 1 1, 1 2 = − 1 = − 故 则 的面积为 显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变， ) 1 1 lim (1 1 lim 1 2 → + = − = →+ →+ b dx x b b b b 故 时，即 则所求曲边梯形的面积为1
二、无 广义积分 定义1:设函数f(x)在区间a,+∞)上连续,取b>a 如果板限mf(x)存在, b->+∞a 则称此极限为 记作「f(x)x,即 f(x)dx= lim I f(x)dx b->+
二、无穷限的广义积分. 定义1: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 取b > a, 如果极限 →+ b b a lim f (x)dx 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上 的广义积分, 记作 ( ) ,即 + a f x dx →+ + = b a b a f (x)dx lim f (x)dx (1)
这时也称广义积分f(x)kx 若上述极 不存在,就称广义积分 f(x)dx ,这时记 f(x)不再表示数值了 例如:1/=d=1m1 +∞ b-→+∞001+x lim arctan x b->+∞0 1+x lim arctan b b->+∞0 2
这时也称广义积分 收敛; 若上述极 限不存在, 就称广义积分 发散, 这时记 号 不再表示数值了。 + a f (x)dx + a f (x)dx + a f (x)dx 例如： + = + →+ + b b dx x dx x 0 2 0 2 1 1 lim 1 1 b b x 0 lim arctan →+ = b b lim arctan →+ = 2 = o y b x 2 1 1 x y + = 1
类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b上连续,取a<b, b 如果极限mnf(x)存在,则称此极限为函数 a→)-00·a f(x)在无穷区间(∞b上广义积分,记作广f(x)k r f(x)dx= lim I/(x)dx b 这时也称广义积分」f(x)在 若上述 极限不存在,就称广义积分」。f(x)k
类似地, 设函数 f (x)在区间(−, b]上连续, 取a < b, 如果极限 →− b a a lim f (x)dx 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间(−, b]上广义积分, 记作 , − →− = b a a b f (x)dx lim f (x)dx (2) 这时也称广义积分 收敛; 若上述 极限不存在, 就称广义积分 发散. − b f (x)dx − b f (x)dx − b f (x)dx 即
设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续,如果广义积分 f(x)x和f(x)dk JO 都收敛,则称上述两广义积分之和为函数f(x)在 区间(-∞,+∞)上广义积分记作」。(x),即 +∞ f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx =im,f(x)k+m.(x)(3) 义积分(x)线、(x)收敛否则就称 这时,也称广义积分 上述广义积分统称为无穷限的
设函数 f (x)在区间(−, +)上连续, + − 0 0 f (x)dx 和 f (x)dx 都收敛, 则称上述两广义积分之和为函数 f (x)在 区间(−, +)上广义积分.记作 ,即 + − f (x)dx + − + − = + 0 0 f (x)dx f (x)dx f (x)dx →− →+ = + b a a b f x dx f x dx 0 0 lim ( ) lim ( ) (3) + − 这时, 也称广义积分 f (x)dx 收敛; 否则就称 广义积分 发散. + − f (x)dx 如果广义积分 上述广义积分统称为无穷限的广义积分
例:计算广义积分」 dx 1+x dx dx 解 ∞1+x 2J-∞1+x 2J01+x Im dx+ lim dx a→-Ja1+x b-→+∞001+x y lim arctan x+ lim arctan x o x a→-0 b->+00 lim arctan a+ lim arctan b a→-0 2 注为方便起见把lmn[F(x)记作F(x)
. 1 1 2 + − + x 例 ：计算广义积分 dx 解： + − + − + + + = + 0 2 0 2 2 1 1 1 x dx x dx x dx + + + = →− →+ b a a b dx x dx x 0 2 0 2 1 1 lim 1 1 lim b b a a x x 0 0 lim arctan lim arctan →− →+ = + a b a b lim arctan lim arctan →− →+ = − + = − − + = 2 ) 2 ( 注: 为方便起见, 把 lim ( ) ( ) . + →+ a b a b F x 记作 F x a o b 2 1 1 x y + = x y
例2:计算广义积分厂1d(p是常数,且p>0) 解: +oO te p dt= lim te pl dt b→+∞00 b lim b→+∞0 -pr b lim te-0--2(0-1) t→)+00
2 : ( , 0). 0 + − te dt p p 例 计算广义积分 pt 是常数 且 解: − →+ + − = b pt b pt te dt te dt 0 0 lim + = − − − →+ b pt b pt b e dt p e p t 0 0 1 lim + − + − − = − 2 0 0 pt 1 pt e p e p t (0 1) 1 lim 0 1 2 = − − − − − →+ p te p pt t 2 1 p =
例:证明广义积分广(a>0 当p>时收敛,当≤时发散 证:当p=1时 dx dx =|nx=+00 当p≠1时 +∞ p
3: ( 0). + a x dx a 例 证明广义积分 p 当p 1时收敛, 当p 1时发散. 证: 当 p = 1时 = = = + + + + a a a p x x dx x dx ln − + = − = − + − + , 1 1 , 1 1 1 1 1 p p a p p x dx x p a p a p 当 p 1时