第四章实数的完备性 4.1关于实数完备性的基本定理
第四章 实数的完备性 4.1 关于实数完备性的基本定理
区间套定 定义 设闭区间列{a,b1惧有如下性质 1[a,b]→[a,b],n=1 (2)lim(b-a)=0 则称{a,b防闭区间套简称区间套 注意 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个即闭 区间的端点满足不等式 ≤a≤…≤a≤…≤b≤…<b≤b
注意: •定义 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭 区间的端点满足不等式: 设闭区间列 {[ , ]}具有如下性质 : n n a b ( ) [ , ] [ , ], 1,2, ; 1 1 = L + + 1 a b a b n n n n n ( ) lim( - ) = 0, → n n n 2 b a 则称{[ , ]}为闭区间套,简称区间套. n n a b . 1 2 2 1 a a a b b b n n L L L 一 区间套定理
●定理的证明 由区间套定义知递增有界数列 依单调有界定理洧极限,且有a≤5,n=12 同理,递减有界数列b池有极限,并按区间套的条件(2)有 inb=lima=5,且b≥5,n=1,2, -)0 n 从而有a≤5≤b,n=1 下面证明满足题设条件的是唯一的 设也满足a≤5≤b,n=1,2
•定理的证明 {a } ， n 由区间套定义知 为递增有界数列 ，{a } ， n 依单调有界定理 有极限x a ，n =1,2,L. n 且有 x 同理，递减有界数列{b }也有极限，并按区间套的条件(2)有 n lim = lim = x , → → n n n n b a b ，n =1,2,L. n 且 x a b ，n =1,2,L. n n 从而有 x 下面证明满足题设条件的x是唯一的. ' a ' b ,n =1,2,L, n n 设x 也满足 x
则5-5≤b-a,n=1,2 由区间套定义(in)得 则9-引≤lim(b-a)=0, 故有=2 证毕 若∈[a,b1(n=12.)是闭区间套{anb所确定的点,则 VE>0,N∈N,Vm>N,有[anbn]cU(2,E) 注意: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
- ' b - a ,n =1,2,L. n n 则x x 由区间套定义(ii)得 - ' lim( - ) = 0, → n n n 则x x b a 故有 x = x '. 证毕. •推论 若x [a,b](n =1,2,)是闭区间套{[an ,bn ]} 所确定的点， 则 0, N N , n N, [a ,b ] U(x; ). + 有 n n 注意: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
二聚点定理 定义 设S为数轴上的点集,5为定点,(它可以属于S,也可以不属于S 若ξ的任何邻域内都含有S中无穷多个点,则称2为S的聚点 聚点概念和下面两个定义等价 对于点集S,若点的任何邻域都含有S中异于 的点即U(.8)S≠则称为S的聚点 若存在各项互异的收敛数{xn}S则其极限 imxn=5称为S的聚点 n→00
二 聚点定理 •定义 设 S 为数轴上的点集, x 为定点,(它可以属于 S ,也可以不属于 S 若 x 的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点,则称 x 为 S 的聚点. 注意: 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 S 的聚点. S x S x x U S ( ; ) , x 若存在各项互异的收敛数 ,则其极限 称为 的聚点. {xn } S = x → n n lim x S
定理( Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点 定理的证明 因S为有界点集,故M>0,使得 SCI-MM,记a1b1=MM 现将a1,b1等分为两个区间,因S为无限点集,故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[a2,b2则 a12b1]=a2,b2l且b2-a2=(b1-a1)=M 将a2,b2l等分成两个子区间,则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点,记其为a32b3则 a2,b2]=a3b31且b-a3=(b2-a2)
S ， M 0, S [-M,M], [a ,b ] [-M,M] 因 为有界点集 故 使得 记 1 1 = •定理 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点. •定理的证明 现将[a1 ,b1 ]等分为两个区间， 因S为无限点集， 故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点， 记此子区间为 [a 2 ,b2 ],则 ( ) . 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 1 1 2 2 且 b2 - a2 = b1 - a1 = M 将[a 2 ,b2 ]等分成两个子区间， 则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点， 记其为[a3 ,b3 ],则 . 2 ( ) 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 2 2 3 3 3 3 2 2 M 且 b - a = b - a =
无限进行,则得区间列{[an,b]}满足 an2,bn→lan,b n+1,n 2>0,(n→>∞) 即{[an,bn是区间套,且其中每个闭区间都含有S中无穷多外点 由区间套定理及推论, ∈[an,bnn=12.…,VE>0,3N>0,n>N有an,b]cU(2) 甲U(2;E内含有S中无穷多个点, 从而2为S的一个聚点 证毕 推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列
无限进行， 则得区间列{[an ,bn ]},满足 [a ,b ] [a ,b ], 1,2, , n n n+1 n+1 n = L 0, ( ), 2 - = -1 → n → M b a n n n {[a ,b ]} ， S . 即 n n 是区间套 且其中每个闭区间都含有 中无穷多外点 由区间套定理及推论， [a ,b ], 1,2, , 0, 0, [ , ] ( ; ). n n x n N n N a b U x = L 有 n n 即U(x;)内含有S中无穷多个点， 从而x为S的一个聚点. 证毕. •推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列
三有限覆盖 定义 设S为数轴上的点集,H为开区间的集合,(即H的每一个 元素都是形如(a,B)的开区间)若S中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称H为S的一个开覆盖,或简称H覆盖S 若H中开区间的个数是无限(有限)的,则称H为S的一个 无限(有限)开覆盖 °定理( Heine- Borel有限覆盖定理) 设H为闭区间[a2b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可 选出有限个开区间来覆盖[a,b
三 有限覆盖定理 •定义 若 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 为 的一个 无限(有限)开覆盖. H H S 设 为数轴上的点集, 为开区间的集合,(即 的每一个 元素都是形如 的开区间).若 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 为 的一个开覆盖,或简称 覆盖 . S H S H H H S S (,) •定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理) 设 为闭区间 的一个(无限)开覆盖,则从 中可 选出有限个开区间来覆盖 . H H [a,b] [a,b]
定理的证明 用反证法假设定理的结论不成立,即不能用H中有限个 开区间来覆盖a,b 将a,b等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖记其为a12b1,则 a1b]c[a,b且b-a≈1 (b-a) 2 将a1b等分为两个子区间,同样其中至少有一个子区间不能用 H中有限个开区间来覆盖记其为a2b2],则 [a,,b]c[a,, b,1 Hb,-a,=-(b 不断进行下去,则得到一个闭区间列{an,b},它满足
•定理的证明 用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个 开区间来覆盖[a,b]. 将[a,b]等分为两个子区间， 则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记其为[a1 ,b1 ],则 ( ). 2 1 [ , ] [ , ] a1 b1 a b , 且b1 - a1 = b - a 不断进行下去， 则得到一个闭区间列{[an ,bn ]},它满足 将[a1 ,b1 ]等分为两个子区间， 同样其中至少有一个子区间不能用 H中有限个开区间来覆盖. 记其为[a2 ,b2 ],则 ( ). 2 1 [ , ] [ , ] 2 2 1 1 , 2 2 2 a b a b 且b - a = b - a
an,bn]→[a n+10n+1 n=2(b-a)→>0(n->∞ 即{an,b,}是区间套,且其中每一个闭区间都不能用H中有限个 有限个开区间来覆盖,由区间套定理 v∈[an,bn]n=1,2,…,由于H是a,b的一个开覆盖 故彐(a,B)∈H,使∈(a,B,于是由区间套定理推论 当n充分大时有[an,bn]c(a,B) 这表明anbn]只须用H中的一个开区间(a,B)就能覆盖, 与挑选anb时的假设不能用H中有限个开区间来覆盖矛盾 从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖a,b
[ , ] [ , ] 1,2, , an bn an+1 bn+1 , n = L ( ) 0 ( ). 2 1 bn - an = n b - a → n → 即{[an ,bn ]}是区间套， 且其中每一个闭区间都不能用H中有限个 有限个开区间来覆盖， 由区间套定理 x [an ,bn ] , n =1,2, L ,由于H是[a,b]的一个开覆盖 故 (,)H,使x (,),于是由区间套定理推论 [ , ] (,). 当n充分大时有 an bn 这表明[an ,bn ]只须用H中的一个开区间(,)就能覆盖， 与挑选[a ,b ]时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”矛盾. n n 从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a,b]