华东师范大学2003年攻读硕士学位研究生入学试题 --数学分析 (30分)简答题(只需写出正确答案)。 (x-1)2(x+2) 2. y=arccos( x+7 4=y ,则d 5D=x,yx2+y251)则ead 6L=kxy)x2+y2=1}方向为顺时针方向,则x-yhk= 二(20分)判别题(正确的说明理由,错误的给出反例)。 1若imxn=0则 I limx=0 2若f(x)在(0,∞)上可导,且导函数f(x)有界,则f(x)在(O0,∞)上一致连续。 3若f(x)在ab上可积,F(x)=f(d在x∈(a,b)上可导,则F(x)=f(x) 4若∑a2m1-a2n)收敛,且lman=0则∑a收敛。 三、(17分)求极限lm( x记此极限为f(x),求函数f(x)的间断点,并判别间断点的类型 四(7分)设r(9a连线,(0)=0证明/(xk其中M=m/外 五(17分)若函数f(xy)在R2上对x连续,且存在L>0,对xy,y∈Rf(x,y)-f(x,y≤Ly-y 求证:在f(x,y)上R2连续 六(7分)求下列积分/=xy(a>0其中s=kxyx2+y2+=2=a2 f(x, y, =)
华东师范大学 2003 年攻读硕士学位研究生入学试题 数学分析 一. （30 分）简答题（只需写出正确答案）。 = - + - Æ ( 1 ) ( 2 ) sin (1 ) 1 .lim 2 2 1 x x x x = + = ' 2 ), 1 1 2. arccos( y x y 则 Ú xdx = 2 3. ln = dz = y x z y 4. x sin( ),则 = { + £ } = ÚÚ + D x y D x y x y e dxdy 2 2 5 . ( , ) | 1 , 2 2 则 = { + = } - = ÚL 6 .L (x , y ) | x y 1 ,方向为顺时针方向， 则 xdy ydx 2 2 二（20 分）判别题（正确的说明理由，错误的给出反例）。 1. lim = 0 , lim = 0 Æ• n n n n 若 x 则 x 。 2 .若f (x )在 （ 0 , )上可导 ， 且导函数 f (x )有界 ， 则 f (x )在 (0 , )上一致连续 。 ' • • 3 ( ) [ , ] ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ). 0 0 ' 0 f x a b ，F x f t dt x a b ， F x f x x a = Œ = 若 在 上可积 Ú 在 上可导 则 （a a ， a a 。 n n n n n n 若 n 收敛 且 则  收敛 • = Æ• • = - - = 1 2 1 2 1 4 . ) lim 0 . f x f x ， 。 x t t x e t x 三 分 求极限 ) .记此极限为 ( ),求函数 ( )的间断点 并判别间断点的类型 sin sin .(17 ) lim ( sin - sin Æ , max ( ). 2 .(17 ) f ( ) [0 , ] (0 ) 0 ( ) ' 0 2 0 ' M f x Ma x a ， f ： f x dx x a a £ £ = £ = 四 分 设 在 上连续 且 证明 Ú 其中 ( , ) . (17 ). ( , ) 0 , , , , ( , ) ( , ) . 2 2 ' " ' " ' " 求证 在 上 连续 五 分 若函数 在 上对 连续 且存在 对 ： f x y R f x y R x ， L > "x y y Œ R f x y - f x y £ L y - y { } ( , , ) { . .(17 ) ( , , ) ( 0 ), ( , , ) | , 2 2 2 2 2 2 , 0, 2 2 3 2 x y z x y z x y S f x y z I f x y z dS a S x y z x y z a + ³ + = + + = 六 分 求下列积分 ÚÚ 其中
七、(17分)设0r"cos nx 1-2rcosx+ (2)求证:[ln(1-2 rosa+r2)x=0 八(15分)>0.b>0a1=a,a2=ban+2=2+-2+-2,n=12 求证{an救敛
(2) : ln(1 2 cos ) 0. 1 2 cos ; 1 2 cos 1 (1) : .(17 ) 0 1, . 0 2 1 2 2 - + = = + - + - b > a = a a = b a = + + = + +