一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数分分析(1)考试性质:考试试卷类型: 考试班级:数学,信息考试方法:闭卷命题教师 单项选择题(每小题3分,3×5=15分) 、填空题(每小题3分,3×5=15分) 2.limf(x)=A分对任何xn→x(n→∞)都有limf(xn)=A; 三、计算题(每小题7分,7×4=28分) (3分) l√mn2+2 n2+n√n2+n 且im n (5分) 2+ 由迫敛性得1im( +)=1.…(7分) 2.解:1imn/2 x+1 (3分) 1(x2-1x3-1)x1(x-1(x+1(x2+x+1) 2x+1 lim- (x+1)x2+x+)2 …………(7分) 3.解:f(x)=√a2-x2+x.-2xa2 5分) (7分) 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第一学期 课程名称：数分分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 二、填空题（每小题 3 分，3×5＝15 分） 1. 解： 2 22 2 2 11 1 1 2 n n nn n n nn nn + ++ + ++ + + ………（3 分） 2. 解： 2 23 2 1 1 2 3 2( 1) 3( 1) lim lim 1 1 ( 1)( 1)( 1) x x xx x x x x x xx + + + = + ++ …………（3 分） 2 1 21 1 limx ( 1)( 1) 2 x x xx + = = + ++ …………………………………（7 分） 3. 解 ： 2 ' 22 22 2 2 1 2 11 ( ) 22 2 2 1 x xa fx a x ax x a a = + + ……… （5 分） 2 2 = a x ……………………………………………（7 分） 一、单项选择题（每小题 3 分，3×5＝15 分） 1. B ； 2. D ； 3. D ； 4. A ； 5. C。 1. 2 1 e ； 2. 0 lim ( ) x x fx A = 对任何 0 ( ) n x xn 都有lim ( ) n n fx A = ； 3. 1 2 ； 4. 0 ； 5. 1 2 y x = 。 三、计算题（每小题 7 分，7×4＝28 分） 且 2 2 lim lim 1 1 n n n n nn n = = + + …………………………………（5 分） 由迫敛性得 22 2 11 1 ( ) 1. n n nn 1 2 + ++ = ++ + n lim …… （7 分）
4.解:对y=xmx取对数有hny= sin xInx,求导得-y= cos xln x+-sinx 故y=x( cos xIn x+-sinx) (5分) 从而d=x( cos x In x+-sinx)ax ……(7分) 四、应用与解答题(每小题7分,7×3=21分) 1.解:由∫(x)在x=1连续且∫(1)=0,利用 LHospital法则 lim/(cos x)_lim-sin x /(cos x) (4分) 再由f()在x=1连续且厂(1)=1得:1m=smx(0x)=-1……(7分) 2.证明:设f(x)=x2-1,x∈[0,],则f(x)在区间[1上连续, 且f(O)=-1,f()=1由根的存在性定理知方程x2-1=0在(01)内至少 有一个实根 (4分) 而∫(x)=2+x2ln2>0,x∈[4],知f(x)在区间[o]上严格递增 故方程x2-1=0在(0,1)内只能有一个实根 (7分) 3.解:设一直角边长为x,则斜边长为3-x,另一条直角边长为√9 于是此直角三角形的面积为S(x) ……(2分) 令S(x)= 9(1-x) 6x-6x)2√9-6x 0 得函数S(x)唯一稳定点x=1且为唯一极大值点,故为最大值点 (5分) 故满足题设条件的三角形中面积最大值为S()=2 (7分 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 4．解：对 sin x y x = 取对数有 ln sin ln y xx = ，求导得 1 1 ' y xx x cos ln sin y x = + ， 故 ' sin 1 (cos ln sin ) x y x xx x x = + ………………… （5 分） 从而 sin 1 (cos ln sin ) x dy x x x x dx x = + ……………………… （7 分） 四、应用与解答题（每小题 7 分，7×3＝21 分） 1．解:由 f x( ) 在 x =1连续且 f (1) 0 = ，利用 ' LHospital 法则： ' 2 0 0 (cos ) sin (cos ) lim lim x x 2 f x xf x x x = ………………………（4 分） 再由 ' f x( )在 x =1连续且 ' f (1) 1 = 得： ' 0 sin (cos ) 1 limx 2 2 xf x x = ………（7 分） 2．证明：设 ( ) 2 1, 0,1 [ ] x fx x x = ，则 f x( ) 在区间[0,1]上连续， 且 f f (0) 1, (1) 1, = = 由根的存在性定理知方程 2 10 x x = 在(0,1) 内至少 有一个实根 ……………………………（4 分） 而 [ ] ' ( ) 2 2 ln 2 0, 0,1 x x fx x x = + > ，知 f x( ) 在区间[0,1]上严格递增， 故方程 2 10 x x = 在(0,1) 内只能有一个实根 ……………………（7 分） 3．解：设一直角边长为 x ，则斜边长为3 x ，另一条直角边长为 9 6 x ， 于是此直角三角形的面积为 1 () 9 6 2 Sx x x = ………………………（2 分） 令 ' 1 6 9(1 ) () 9 6 0 2 29 6 29 6 x x Sx x x x = = = 得函数 S x( ) 唯一稳定点 x =1且为唯一极大值点，故为最大值点 ………（5 分） 故满足题设条件的三角形中面积最大值为 3 (1) 2 S = …………（7 分）
五、证明题(每小题7分,7×3=21分) 1.证明:设E为有界数集,故M>0使得x∈E,都有≤M (1分) 构造闭区间套{an,bJ} [a1,b]=[-M,M][an1b为[an,b]二等分中的一个,其满足下列条件 (1)bn+ 1 -an.=b →0(n→∞) (2)[an,bn]E是无限集 (4分) 由闭区间套定理得:彐∈[an,bn],n=1,2,3,… 进而,易证5为有界无限点集的一个聚点,即证。 (7分) 2.证明:由a1=2≤2,设a1≤2,则a=√2a≤√22=2,知{an}有 上界2,再由%_√2an ≥1知数列{an}单调递增,利用单调有界 定理便知数列{an}收敛 (4分) 设Iman=a,对an1=√2an两边同时取极限(n→∞)得: 2=2a,解之得:a=2或a=0(舍去),即有lima=2 (7分) 3.证明:(1)Vx2x2∈R,由f(x)在实数集R上可导,利用 Lagrange中值定理有 3∈[x,x](或[x2x]),使得: f(x2)-f(x1)=f(5)(x2-x1) 再由已知f(x)M,x∈R便得:(x2)-f(x)≤M|x2-x (4分) (2)由(1):V6>0.36=元,对任何x,x2∈R只要{x2-x1<就有 (x2)-f(x)≤M{x2-x|<E 由定义便知f(x)在R上一致连续 (7分) 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 五、证明题（每小题 7 分，7×3＝21 分） 2．证明：由 1 a = 2 2 ，设 2 k a ，则a a k k +1 = 2 22 2 = ，知{an}有 上界 2，再由 1 2 2 1 n n nn n a a aa a + = = 知数列{an}单调递增，利用单调有界 定理便知数列{an}收敛 ….………….……………………..…（4 分） 设 lim n n a a = ，对a a n n +1 = 2 两边同时取极限( ) n 得： 3．证明：（1） 1 2 xx R , , 由 f x( ) 在实数集 R 上可导，利用 Lagrange 中值定理有 （2）由（1）： 0, , M > = 对任何 1 2 xx R , , 只要 2 1 x x 0, 使得 xE x M ,都有 ……..…（1 分） 构 造 闭 区 间 套 1 {[ , ]}| n n a b + 如下： 1 1 [ , ] [ , ], ab MM = 1 1 [,] n n a b + + 为[,] n n a b 二等分中的一个，其满足下列条件： （1） 1 1 11 1 1 1 0( ) 22 2 n n nn n n M b a b a ba n + + = = = ； （2）[,] n n ab E 是无限集 。 ……..…（4 分） 由闭区间套定理得： [ , ], 1,2,3, n n ab n = 。 进而，易证 为有界无限点集的一个聚点，即证。 … ….. （7 分） 2 a a = 2 ，解之得：a = 2或a = 0 （舍去），即有 lim 2 n n a = ………..……（7 分） [ x x 1 2 , ]（或[ x x 2 1 , ] ），使得： ' 2 1 21 fx fx f x x ( ) ( ) ( )( ) = 再由已知 ' | ( )| fx M , x R 便得： 2 1 21 f x f x Mx x () () .…………..（4 分）