一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数学分析(1)考试性质:考试试卷类型 考试班级:数学,信息 考试方法:闭卷命题教师 选择题(每小题3分,共计15分) 1.(A);2.(D);3.(A);4.(B);5.(D) 二、判断题(每小题3分共计15分) 1.(×);2.(√);3.(√);4.(×);5.(×) 三、证明或计算下列极限(每小题5分,共计20分) 1.用定义证明:lim-=0 E有 In a 3分 所以取N=n 4分 In 3 则当n>N时恒有-0<,依定义lm=0。… 5分 2.计算li x+1 解:原式=lim 5分 3.计算lim sin 2x 解:原式=lim 2 cos 2 5分 4.证明:若an=√2,an=√2+an,n=012,…则数列{an}收敛,并求其极限。 证明:因为0<a<2,设0<an<2,则0<am=√2+an<√2+2=2,所以对一 切n有:0<a,<2 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第 一 学期 课程名称：数学分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分） 1．（A）；2．（D）；3．（A）；4．（B）；5．（D） 二、判断题（每小题 3 分共计 15 分） 1．（×）；2．（√）；3．（√）； 4．（×）；5．（×） 三、证明或计算下列极限（每小题 5 分，共计 20 分） 1．用定义证明： 0 3 1 lim = n n 解： > 0，由 = n n 3 1 0 3 1 有 ln 3 ln > n ，………………………………3 分 所以取 ] 1 ln 3 ln [ + = N ，……………………………………………………………4 分 则当n > N 时恒有 0 < 3 1 n ，依定义 0 3 1 lim = n n 。……………………………5 分 2．计算 x x x x + + 1 1 lim 解：原式＝ + + + + + + 1 2 2 1 1 2 1 1 2 lim 1 x x x x ………………………………4 分 2 = e …………………………………………………………………………………5 分 3．计算 x x x sin 2 lim 0 解：原式＝ 2 1 2cos 2 lim 0 = x x …………………………………………………………5 分 4．证明：若a0 = 2 ，an+1 2 += an ，n = 0,1,2,则数列{ an }收敛，并求其极限。 证明：因为0 < a0 < 2，设0 an << 2 ，则0 < an+1 = 2 + an < 2 + 2 = 2 ，所以对一 切n 有：0 an << 2 。………………………………………………………………2 分
an+ -an=v2+an-a 2+an-a2(2-an)1+an)>0,即原数列单调递增上 +a +a +a ta 方有界,所以必有极限,设 lim a=A。…… 分 则对等式an=√2+an两边取极限得:A2=2+A,即A=-12,因为an>0,所 以负根舍去,所以A=2。………………………………………………5分 四、求下列导数(每小题5分,共计20分) 1+ 5分 Vx(x+2 [n(x-1)+x-Inx-In(x+2)-Insin x] ……1分 两边对x求导得 cos x 3分 所以:y= cos x ……5分 2x(x+2) 3. sin(x +y)+y=2T 解:两边对x求导得:cos(x+y)+y)+y=2lhn2,… ………2分 解之得:y ln2-cos(x+y)……………¨……………………5分 1+ cos(x+y) =-tane……………………………………………5分 e cos e 四、证明:如果limf(x)=存在,则必存在>0,M>0,使当00,38>0使当0<x-d<6时 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 0 2 (2 )(1 ) 2 2 2 2 2 1 > + + + = + + + + = + = n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ，即原数列单调递增上 方有界，所以必有极限，设 an A n = lim 。…………………………………………4 分 则对等式an+1 2 += an 两边取极限得： A = 2 + A 2 ，即 A = 1,2，因为 > 0 an ，所 以负根舍去，所以 A = 2 。…………………………………………………………5 分 四、求下列导数 dx dy （每小题 5 分，共计 20 分） 1． ln( 1) 2 y = + xx 解： 1 1 ) 2 1 2 (1 1 1 ' 2 2 2 = + + = x x x x x y …………………………………5 分 2． x x x x e y x ( 2)sin ( 1) + = 解： [ln( 1) ln ln( 2) ln sin ] 2 1 ln y = x + x x + xx ，………………1 分 两边对 x 求导得： ) sin cos 2 1 1 1 1 1 ( 2 1 ' 1 x x x x x y y + + = ，……………3 分 所以： ) sin cos 2 1 1 1 1 1 ( ( 2)sin ( 1) 2 1 ' x x x x x x x x x e y x + + + = ……………5 分 3． x sin(x + y) y =+ 2 解：两边对 x 求导得：cos( )(1 ') ' 2 ln 2 x x + y + y + y = ，…………………………2 分 解之得： 1 cos( ) 2 ln 2 cos( ) ' x y x y y x + + + = ……………………………………………………5 分 4． = = t t y e x e cos sin 。 解： t t t t t e e e e e dx dy tan cos sin = = ………………………………………………………5 分 四、证明：如果 f x l x a = lim ( ) 存在，则必存在 > 0，M > 0，使当0 0， > 0 使当0 < ax < 时
恒有|(x)-4 5分 从而当00,使得对Vε>0,总有E中的元素x,满足x>M-E,则称M为E 的上确界.………… 6分 xsin-x≠0 六、证明:f(x) 在x=0处连续。(6分) 证明:因为limf(x)= lim x sin-=0=f(0) 3分 即极限值等于函数值,所以依定义知f(x)在x=0处连续 6分 七、用有限覆盖定理证明聚点定理:任何有界无限数集E至少有一个聚点。(10 分) 证明:用反证法。…………………………………………………1分 因为E有界,所以可设x∈E有a≤x≤b。如果E无聚点,则对任意c∈R,都存 在δ,使得U(c,o)中最多只有有限个E中的点。……………………4分 于是对每个x∈ab],都有δ,使得U(x,6)中最多只有有限个E中的点。…6分 而开区间集S={U(x,δ)|x∈[a,b}显然覆盖了闭区间[a,b。依有限覆盖定理知S 中必有有限个开区间覆盖了闭区间[a,b]。……………………………………8分 设它们是:U(x1,n),U(x2,2)…U(x205,)。于是它们必然也覆盖了E,而每 个U(x26)中都只有有限个E中的点,因而n个区间中最多只有有限个E中的点 注意到它们覆盖了E,所以E中最多只有有限个点,这与E是无限集矛盾。所以E 必有聚点。 …10分 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 恒有 f (x) l 0 , 使得对 > 0 ,总有 E 中的元素 x ,满足 x > M ,则称 M 为 E 的上确界. ……………………………………………………………………………6 分 六、证明： = = 0 0 0 1 sin ( ) x x x x f x 在 x = 0处连续。 （6 分） 证明：因为 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = ………………………………3 分 即极限值等于函数值,所以依定义知 f (x) 在 x = 0处连续。 ……………………6 分 七、用有限覆盖定理证明聚点定理：任何有界无限数集 E 至少有一个聚点。 （10 分） 证明：用反证法。……………………………………………………………………1 分 因为 E 有界，所以可设x E 有a x b。如果 E 无聚点，则对任意c R，都存 在 c ，使得 ( , ) c U c 中 最多只有有限个 E 中的点。…………………………4 分 于是对每个 x [ ,ba ]，都有 x ，使得 ( , ) x U x 中最多只有有限个 E 中的点。…6 分 而开区间集 S {U(x, ) | x [ ,ba ]} = x 显然覆盖了闭区间[ ,ba ]。依有限覆盖定理知 S 中必有有限个开区间覆盖了闭区间[ ,ba ]。………………………………………8 分 设它们是： ( , ) 1 1x U x ， ( , ) 2 2 x U x …… ( , ) n n x U x 。于是它们必然也覆盖了 E，而每 个 ( , ) k k x U x 中都只有有限个 E 中的点，因而n 个区间中最多只有有限个 E 中的点， 注意到它们覆盖了 E，所以 E 中最多只有有限个点，这与 E 是无限集矛盾。所以 E 必有聚点。…………………………………………………………………………10 分