第五节全微分方程 全微分方程及其求法 积分因子法 三、一阶微分方程小结
第五节 全微分方程 ◼ 一、全微分方程及其求法 ◼ 二、积分因子法 ◼ 三、一阶微分方程小结
全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 d(x,y)=P(x,y)d+(x,y)全微分方程 则P(x,y)x+Q(x,y)y=0 或恰当方程 例如xdx+yy=0,以(x,y)=,(x2+y2), dhn(x,y)=xx+yy,所以是全微分方程 全微分方程分 OP 00
一、全微分方程及其求法 1.定义: 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P = 全微分方程
2.解法 P(x,y)x+Q(x,y)小y=0全微分方程 oP 80 应用曲线积分与路径无关 ay ax 通解为以(x,y)=P(x,y)x+n(xn,y) ∫xy)小+JP(x,y)dx,m(x,y) 用直接凑全微分的方法
2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 应用曲线积分与路径无关. x Q y P = 通解为 = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. 全微分方程
例1求方程(x3-3xy2)x+(y32-3x2y)y=0 的通解 解 aP Q ay a ,是全微分方程, L (,y)=l(x'-3xy)dx+ydj 0 x 3 r y t x 3 原方程的通解为 22 X v+ y=C
. ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P = − = 是全微分方程, = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1
2. 例2求方程dx+ y2-3x2 Jd=0的通解 aP 6x 00 解 ,是全微分方程, ax 将左端重新组合2d+(dx 3x 4 dy) =d(--)+d(3)=d(-+3) 1.x=C 原方程的通解为-+
0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P = − = 是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2
积分因子法 定义:p(x,y)≠0连续可微函数,使方程 u(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)=0成为全 微分方程则称H(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子?
二、积分因子法 定义 : ( x, y) 0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称( x, y)为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子?
1.公式法: a(uP)a(u@) ax -+P 000x 两边同除山 ax 0 Inu paInA aP0Q解不容易 ax y or 特殊地: du du a当只与x有关时.O≠0,axdx
1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P = x Q x Q y P y P + = + 两边同除， x Q y P y P x Q − = − ln ln 求解不容易 特殊地: a.当只与x有关时; = 0, y , dx d x =
dIn u 1 aP aQ k ay dr=f(x) f∫(x)tc u(x)=e b当只与有关时.0=0, du ax ay dy dInu 1ao aP 小 y P ar ay 3y(y) u()=ea(y)dy
b.当只与y有关时; ( ) ln 1 x Q y P dx Q d − = = f (x) ( ) . ( ) = f x dx x e = 0, x , dy d y = ( ) ln 1 y P x Q dy P d − = = g( y) ( ) . ( ) = g y dy y e
2.观察法:凭观察凑微分得到p(x,y) 常见的全微分表达式 x xdy-ydx xdx+ ydy=d 2 xd小y-yx xdv+ vdx d arctan 2 d(In xy dy xdx+ yd 2 d-In(x+y x ty 2 xdy- ydx xty 2 n 2 x-y
2.观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y) 常见的全微分表达式 + + = 2 2 2 x y xdx ydy d = − x y d x xdy ydx 2 = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln + = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2
可选用的积分因子有 11 x y 2 225 2 等 x十yx x t y 例3求微分方程 (3xy+y2)x+(x2+xg)d=0的通解 1OPaQ、1 解 e oy ar)= ,∴A(x)=ex=x 则原方程为 (3x y+xydx+(x+x ydy=0
可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y (3 ) ( ) 0 . 2 2 的通解 求微分方程 xy + y dx + x + xy dy = 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q = − = dx x x e 1 ( ) = x. 例3 则原方程为 (3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy =
