西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）级数与微分方程（微分方程）第三节 齐次方程

第三节齐次方程 齐次方程 二、可化为齐次的方程 三、小结

第三节 齐次方程 ◼ 一、齐次方程 ◼ 二、可化为齐次的方程 ◼ 三、小结

、齐次方程 1定义形如可=f()的微分方程称为齐次方程 2解法作变量代换u=,即y=x, =u+x 代入原式 u+x d u f∫(u), du f(u) 即d 可分离变量的方程

一、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy  = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义

当f(4)-≠0时,得∫ C f(u)u 即x=Ce),(q(n ∫() 将u=代入,得通解x=Ce 当彐un,使f(a0)-=0,则=是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=unx

当 f (u) − u  0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得  , (u) x Ce 即 =  − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce  得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x

例1求解微分方程 (x-ycos dx xcos dy=0. 解令=,则d=xdm+ut, (x-ux cos u)dx+ xcosu(udx+ xdu)=0, cosudu sinu==+c 微分方程的解为siny=-1mx+C

例 1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解

dx 例2求解微分方程2 r-ryt y 解 dy 2y 29 de x'-xy+y y, y L 则小=xd+ 2u2-u u+ru= u+u

2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2       − +  −      = x y x y x y x y , x y 令u = 则dy = xdu + udx, , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − +  = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例 2 求解微分方程 解

11 2 d x 2L-2 In(u-DIn(u-2)-Inu=Inx +InC, 2 U-1 u(u 微分方程的解为(y-x)2=Oy(y-2x)3

ln ln ln , 2 1 ln( 2) 2 3 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x ] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 2 1 [ x dx du u u u u = − + − − − −

例3抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面 旋转抛物面 解如图设旋转轴a轴y 光源在(0,0),L:y=y(x) R 设M(x,y)为L上任一点, MT为切线斜率为y, MN为法线,斜率为 L ∵∠OMN=∠NMR

例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴ox轴 光源在(0,0), L : y = y(x) x y o M T N R L 设M(x, y)为L上任一点， MT为切线, 斜率为 y , , 1 , y MN  为法线 斜率为− OMN = NMR

.tan∠OMN=tan∠NMR, R 由夹an∠OMN=yx M 角正 N x切公 式|tan∠NMR= 得微分方程 yy2+2xy-y=0,即y +1

           =  − −  −  = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 2 0, 2 yy + xy − y = 得微分方程 ( ) 1. 2  = −  + y x y x 即 y tanOMN = tanNMR, 由夹 角正 切公 式得 x y o M T N R L

得 1士√1+L l u+x dx uan 分离变量 (1+2)±√1+l tat 令1+2=t2 t(t±1)x 积分得l±1-=mC,即a+1=c±

令 ， x y u = , 1 1 2 u u dx du u x −  + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 x dx u u udu = − +  + 令1+ u 2 = t 2 ， , ( 1) x dx t t tdt = −  积分得 ln 1 ln , x C t  = 1 1, 2 + =  x C 即 u

平方化简得2 C 2C 十 代回=,得y2=2C(x+ 抛物线 2 所求旋转轴为a轴的旋转抛物面方程为 y+z=2C(x+) 2

平方化简得 , 2 22 2 xC xC u = + 代回 , 得 xy u = ) 2 2 ( 2 C y = C x + 抛物线 所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为 ). 2 2 ( 2 2 C y + z = C x +