西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）级数与微分方程（无穷级数）第四节 函数展开成幂级数

第四节函数展开成幂级数 泰勒级数 函数展开成幂级数 三、小结

第四节 函数展开成幂级数 ◼ 一、泰勒级数 ◼ 二、函数展开成幂级数 ◼ 三、小结

泰勒级数 co 上节例题∑(-1)21 ln(1+x)(-1<x≤1) f(x)=∑an(x-x)y存在幂级数在其收敛 域内以(x)为和函数 =0 问题:1.如果能展开,n是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数?

一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1  − = + −    = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 =  −  = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?

定理1如果函数f(x)在U6(x)内具有任意阶导 数,且在U2(x0)内能展开成(x-x0)的幂级数, 即f(x)=∑an(x-x0) 则其系数an=,f((x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 证明∵∑a(x-x)在n(x)内收敛于f(x即 f(x)=a0+an1(x-x)+…+an(x-x)”+

证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n  n −  =  f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 且展开式是唯一的

逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ f(x=nlan+(n+1)n.3.2an+i(x-xo)+ 令x=x,即得 fn(x0)(mn=0,1,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)的展开式是唯一的

f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 泰勒系数是唯一的,  f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得  泰勒系数

定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 ∑!1(x-x0)y称为f(x)在点x的泰勒级数 H=0 ∑ x"称为∫(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 n! 问题f(x)?∑ f(m(xo(x-xo 泰勒级数在收敛区间是否收敛于八x)?不一定

如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f   =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( )  −  = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定

例如f(x) 13x0 ≠0 0 在x=0点任意可导,且∫(0)=0(m=0,1,2,…) f(x)麦氏级数为∑0x =0 该级数在(-0,+∞内和函数s(x)=0.可见 除s=0外,f(x)麦氏级数处处不收敛于∫(x)

    =  = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n =    =   0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x)  0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导

定理2f(x)在点x0的泰勒级数,在U(x0)内收 敛于∫(x)分在U8(x0)内lmRn(x)=0 n→0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数 f(x)=∑ o(x-xo)+r,(x) 0 i R, (x=f(x)-sm,1(x) m s n+1 (x)=∫(x) lim rn (x)=limf(x)-sn(x)=0

定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i =  − + =  ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = →   = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;

充分性∵∫(x)-Sn+1(x)=Rn(x lieff(x-s,(x)=limr, (x)=0 n→0 n→0 即 lim s+(x)=∫(x), n→0 f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设f(x)在U(x0)上有定义,丑M>0,对 Ⅴx∈(x-R,x+R).恒有f(x)≤M (n=0,1,2,,则f(x)在(x0-R,x+R内可展 开成点x的泰勒级数

充分性 ( ) ( ) ( ),  f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + →  − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即  f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M  0,对 ( , )  x  x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( )  ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数

证明 (n+1) n+1 R2(x)= (x-x0)≤M 0 (n+1) (n+1)! x∈(x0-R,x0+R ∑ 七、|n+1 0,在(-∞,1∞)收敛 m=d(n+1)! n+1 m x-Xo=0,故im n→>∞(n+1) Rn(x)=0, x∈(x0-R,x0+R) 可展成点x的泰勒级数

证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x   , ( 1)! 1 0 + −  + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + −   = + n n n x x  0, ( 1)! lim 1 0 = + −  + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R

函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤:(①)求an= (2)讨论mR,=0或f"(x)≤M, n→0 则级数在收敛区间内收敛于f(x)

二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n =  → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)