第一节微分方程的基本概念 回题的提出 微分方程的定义 三、主要问题-求方程的解
第一节 微分方程的基本概念 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、微分方程的定义 ◼ 三、主要问题-----求方程的解 ◼ 四、小结
问题的提出 例1一曲线通过点(1,2,且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) dy=2x其中x=时,y=2 y=∫2xdk即p=x2+C,求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 解设制动后t秒钟行驶s米,s=s(t) d-s =-0.4【=0时,s=0,v==20, ν==-0.4t+C1s=-0.2+C1t+C2
例 2 列车在平直的线路上以 2 0 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C
代入条件后知C1=20,C2=0 v==-0.4t+20, 故s=-0.2t+20t, 开始制动到列车完全停住共需(045秒 20 列车在这段时间内行驶了 s=-02×502+20×50=500米
代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 0.2 20 , 2 s = − t + t = = −0.4t + 20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米 开始制动到列车完全停住共需
二、微分方程的定义 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例 少"+2 -3 yy=e (t +xdt +xd=o rt y ax 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义
分类1:常微分方程,偏微分方程 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2: 阶微分方程F(x,y,y)=0,y=∫(x,y); 高阶(m)微分方程F(x,y,y,…,y)=0, y()=∫(x,y,y,…,y(m)
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 分类2:
分类3:线性与非线性微分方程 y+P(x)y=Q(x),x(y)2-2y+x=0; 分类4:单个微分方程与微分方程组 「 =3y-23, =2y-
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy
、主要问题一求方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设y=x)在区间I上有n阶导数, F(x,q(x),p'(x),…,p(x)=0 微分方程的解的分类 (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
例p'=y,通解y=Ce y"+y=0,通解y=C1sinx+C2cosx (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = Ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = C1 x +C2 x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件
初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 f(x,y) 阶 J 过定点的积分曲线; X=r 「y”=f(x,y,y) 阶 X= 05x=x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题