西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）级数与微分方程（微分方程）第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程

第干节三阶常系数菲齐次 线性微分方程 f(x)=eP(x)型 二f(x)=e(P(x) cost+P(x) )sin oe)型

第十节 二阶常系数非齐次 线性微分方程 ◼ 一、 型 ◼ 二、 型 ◼ 三、小结 ( ) ( ) x m f x e P x  = ( ) ( ( ) cos ( ) sin ) x l n f x e P x P x  = +  

f(x)=eP(x)型 y"+py+qy=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0, 通解结构y=Y+y, 常见类型Pn(x),Pn(x)ex, Pn ()e cos x, Pm ()e sin Br, 难点:如何求特解?方法:待定系数法

y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. f (x) e P (x) m x 一、 = 型

设非齐方程特解为y=Q(x)代入原方程 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p元+q)Q(x)=Pn(x) (1)若不是特征方程的根,x2+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),y=Qn(x)e (2)若是特征方程的单根, 2+p4+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)e;

设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = ( ) ; x m y xQ x e  =

(3)若是特征方程的重根, 22+p2+q=0,24+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),y=x2Qn(x)ex 综上讨论 0不是根 设y= xe" omc(x),k={1是单根 2λ是重根 注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数)

(3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e  =

特别地y"+py2+y=Ae ex,λ不是特征方程的根 2+pλ+q xe是特征方程的单根 2元+p 是特征方程的重根

特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2

例1求方程y-3y+2y=xe2的通解 解特征方程r-3r+2=0 特征根r1=1, 对应齐次方程通解Y=C;e+C2e2x, 入=2是单根,设y=x(Ax+B)e2 代入方程,得2Ax+B+2A=x 2 B=-1 于是p=x(x-1)e2x 2 原方程通解为y=C1e+ 2x+x( 2x 2

3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， , 2 1 2 x x Y = C e + C e  = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e 例1

二、f(x)=e^IP(x) cos ar+P(x) )sin axx]型 f(x)= e"[p cos ax+ P sin ax利用欧拉公式 e te -lax e e 十 十 n(九+ia)x 十 -io)x e 22a 22i P(x)e))x+ P(x)e(-io)x 设y”+my+gy=P(x)ex+o,y1=xgnc+o)x

二 、f (x) = e x [Pl (x)cosx + P n (x)sinx]型 f (x) e [P cos x P sin x] l n x    = + ] 2 2 [ i e e P e e e P i x i x n i x i x l x      − − − + + = l n i x l n i x e i P P e i P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 ( +  −  = + + − ( ) ( ) , ( i ) x ( i ) x P x e P x e +  −  = + ( ) , ( i ) x y py qy P x e +  设  +  + = , ( ) 1 i x m k y x Q e +  = 利用欧拉公式

设y”+pmy+0y=P(x)e=m,y2=xQnc2o)x, .y=x eiome +ome i x e rm(x)cos ax t Rm()sina, 其中R(x),R2(x)是m次多项式,m=max{,n 0元±ia不是根 k 1a±i是单根 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程

( ) , ( i ) x y py qy P x e −  设  +  + = , ( ) 2 i x m k y x Q e −  = [ ] i x m i x m k x y x e Q e Q e   −   = + [ ( )cos ( )sin ], (1) (2) x e Rm x x Rm x x k x    = + 其中Rm (1) (x),Rm (2) (x)是m次多项式，m = maxl,n , 1 0      = 是单根 不是根     i i k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程

例2求方程y"+y=4sinx的通解 解对应齐方通解Y=C1C0sx+C2sinx, 作辅助方程y+y=4e 元=i是单根,故y=Axe 代入上式2Ai=4 4=-2 .y=-2ixe= 2xsin x(2x cos x )i, 所求非齐方程特解为y=-2 cost,(取虚部) 原方程通解为y=C1cosx+C2sinx-2 cosd

求方程 y + y = 4sin x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 4 , ix y + y = e  = i 是单根, , * ix 故 y = Axe 代入上式 2Ai = 4,  A = −2i, 2 2 sin (2 cos ) , * y ixe x x x x i ix  = − = − 所求非齐方程特解为 y = −2xcos x, 原方程通解为 cos sin 2 cos . y = C1 x + C2 x − x x （取虚部） 例2

例3求方程y+y=xcos2x的通解 解对应齐方通解Y=C1csx+C2sinx, 作辅助方程y"+y=xe2, 元=2i不是特征方程的根 设y=(4x+B)e2,代入辅助方程 44i-3B=0 4 B 34=1 9 =(-x-0i)e 2ir 3

求方程 y + y = xcos 2x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 , 2ix y + y = xe  = 2i 不是特征方程的根, ( ) , * 2ix 设 y = Ax + B e 代入辅助方程    − = − = 3 1 4 3 0 A Ai B , 9 4 3 1  A = − ，B = − i ) , 9 4 3 1 ( * 2ix  y = − x − i e 例3