第十节傅里叶级数的复数形式 复数形式的标准形式 小结
第十节 傅里叶级数的复数形式 ◼ 一、复数形式的标准形式 ◼ 二、小结
、复数形式的标准形式 以2L为周期的函数的傅里叶级数为 ∑( nTc nTt fo X)=+ a coS +b, sin-) 2 an=几f(x)c=(m=0.2,) nTr f( xsin (n=1,2,3,)
以2L为周期的函数的傅里叶级数为 ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = ( )cos ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin ( 1,2,3, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n 一、复数形式的标准形式
代入欧拉公式 e te e cost= 2 SInt= 2i f(x)=2+∑( acos nTuC +b, sin-) nTcr ib nUX nTox +∑ e fe 2 2 2 a-ib nT℃ +ib nTc 2 +∑ H-=1 2 2
代入欧拉公式 , 2 cos it it e e t − + = , 2 sin i e e t it −it − = ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = = − − − − = + + 1 0 2 n 2 2 l n x i l n x i l n n x i l n x i n e e ib e e a a = − + + − = + 1 0 2 n 2 2 l n x i l n n n x i n n e a ib e a a ib
令C a +ib C (n=1,2,3,) nTx nTx +∑ +c ITtX 于是有f(x)=∑Cne1,傅里叶级数的复数形式 f(x)edx(n=0.,+1,±2,…) 2l 傅里叶系数的复数形式
(n = 1,2,3, ) = − − = + + 1 0 n l n x i n l n x i n C C e C e , 2 0 0 a 令C = , 2 n n n a ib C − = , 2 n n n a ib C + − = ( ) , l n x i n n f x C e =− 于是有 = ( ) ( 0, 1, 2, ) 2 1 = = − − f x e dx n l C l l l n x i n 傅里叶系数的复数形式 傅里叶级数的复数形式
例设f(x)是周期为2的周期函数,它在[-1,1) 上的表达式为f(x)=e,将其展成复数形式 的傅氏级数 解 -InToX e-(1+i)x 2 inTc e cost -e cos n7 21+n2 1-in兀 sinh 1+n2兀
例 设 f (x)是周期为 2 的周期函数,它在 [−1,1) 上的表达式为 x f x e − ( ) = ,将其展成复数形式 的傅氏级数. 解 − − − = 1 2 1 1 c e e dx x in x n − − + = 1 1 (1 ) 2 1 e dx in x [ cos cos ] 1 1 2 1 1 2 2 − + − = − − e n e n n in sinh1, 1 1 ( 1) 2 2 + − = − n n in
+0 f(x)=∑(-1) inTt 2 2 Sinh e inx 1+n2兀 (x≠2k+1,k=0,土1,±2,…)
sinh1 . 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n in x n e n in f x + =− + − = − (x 2k + 1,k = 0,1,2, )
小结 傅里叶级数的复数形式f(x)=∑Cne 傅里叶系数的复数形式 nTx C yei dx( n=0,±1,±2,…) 注意:傅里叶级数的两种形式,本质上是一样 的.复数形式较简洁且只用一个算式计算系数
二、小结 傅里叶级数的复数形式 ( ) , l n x i n n f x C e =− = ( ) ( 0, 1, 2, ) 2 1 = = − − f x e dx n l C l l l n x i n 注意:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数． 傅里叶系数的复数形式