第二节微积分基本公式 一积分上限的函数及其导数 ■二牛顿-莱布尼茨公式
第二节 微积分基本公式 ◼ 一 积分上限的函数及其导数 ◼ 二 牛顿-莱布尼茨公式
■定理若函数f(x)在区间[ab连续,则函数 G(x)=()在a,b]可导,且 G(x=f(x) 证明由G(x)=「f(t,则,G(x+△x)=「f( G(x+△x)-G(x)_1rr x △x 由积分中值定理,在x,△x之间存在一点, 使 x+△x f(t)lt=f()△x
◼ 定理 若函数f(x)在区间[a,b]连续，则函数 在[a,b]可导，且 证明 由 ，则， 由积分中值定理，在 之间存在一点 ， 使 ( ) ( ) x a G x f t dt = G x f x ( ) ( ) = ( ) ( ) x a G x f t dt = ( ) ( ) x x a G x x f t dt + + = ( ) ( ) 1 1 [ ( ) ( ) ] ( ) x x x x x a a x G x x G x f t dt f t dt f t dt x x x + − + + = − = x x , ( ) ( ) x x x f t dt f x + =
于是G(x+△x)-G(x) △x 上式两端取极限Ax→>0,则x+△x→>x,2→>x 所以 G(x=lim G(x+△x)-G(x) lim f(s=f(x) Ax→>0 Ax→>0
于是 上式两端取极限 ，则 所以 ( ) ( ) ( ) G x x G x f x + − = →x 0 x x x x + → →, 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x G x x G x G x f f x x → → + − = = =
■定理若函数f(x)在区间[ab上连续,则函数 op(x) f(dx 是fx)在a,b]上的一个原函数 注:这定理说明连续函数的原函数是存在的, 而且,这定理把不定积分与定积分联系起来
◼ 定理 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数 是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 注：这定理说明连续函数的原函数是存在的， 而且，这定理把不定积分与定积分联系起来。 ( ) ( ) x a = x f x dx
二牛顿-莱布尼茨公式 定理1(x)∈C0(y),F(x)是fx)的一个原 函数,则 L f(rdx= F(b)-F(a=F(x)xsa 证明 ∫ f(x)dx=Φ(x)=F(x)+ ∫f(x)x=F(x)-F(a)→ f(xdx= Fob-F(a=Fo
二 牛顿-莱布尼茨公式 ◼ 定理 ，F(x)是f(x)的一个原 函数，则 证明 0 f x C a b ( ) ([ , ]) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a x a f x dx F b F a F x = = − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a x a f x dx x F x c c F a f x dx F x F a f x dx F b F a F x = = = + = − = − = − =
■例1 x x=√x2+1 √5 ■例2 11+x 4 C dx 01+x 6 1+x 2 3J01+x arctan x -arctan x O 3 O 3
◼ 例1 ◼ 例2 2 2 2 0 2 0 1 5 1 1 x x dx x x = = + = − + 4 1 1 1 6 2 6 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 1 1 3 1 1 arctan arctan 3 3 x x x dx dx dx x x x x x = = + = + + + + = + =
个重要的公式: 0(x f()d)=f((x)yp(x)-f((x)(x) xX 例3 COSx)=e sInx cosx
◼ 一个重要的公式： ◼ 例3 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) x x x f t dt f x x f x x = − 1 2 2 2 1 cos cos cos ( ) (1) (cos ) sin t x x x e dt e e x e x − − − − = − =