第四节反常积分 一无穷限的反常积分 ■二无穷函数的反常积分
第四节 反常积分 ◼ 一 无穷限的反常积分 ◼ 二 无穷函数的反常积分
无穷限的反常积分 定义函数fx)在区间[a+∞)上连续,取ta 若函数lim[f(x)lx t→)+00Ja 存在,则称此极限为函数fx) 在无穷区间[a,+∞)上的反常积分,记为 。f(x)dx 若上述极限存在,也称反常积分收敛,反之 若上述极限不存在,也称反常积分发散
◼ 一 无穷限的反常积分 定义 函数f(x)在区间 上连续，取 t>a, 若函数 存在，则称此极限为函数f(x) 在无穷区间 上的反常积分，记为 若上述极限存在，也称反常积分收敛，反之 若上述极限不存在，也称反常积分发散。 [ , ) a + lim ( ) t t a f x dx →+ [ , ) a + a + ( ) a f x dx +
性质若F(x)为函数fx)在区间[a+∞)上的原函 数,若limF(x)存在,则 x→)+00 +0 f(x)ax=F(x)=lim F(x)-F(a X=a x→)+ ■例1 dx ∞1+x arctan x= lim arctan x- lim arctan x
◼ 性质 若F(x)为函数f(x)在区间 上的原函 数，若 存在，则 ◼ 例1 [ , ) a + lim ( ) x F x →+ ( ) ( ) lim ( ) ( ) a x a x f x dx F x F x F a + + = →+ = = − 2 1 arctan lim arctan lim arctan ( ) 2 2 x x x dx x x x x + − + =− →+ →− + = = − = − − =
例2证明 ≤1 时 x(Inx 发散 >1 时 收敛 证当元=1 时 x(nx dx too d Inx In(In x) 2xlnx√2ln 当≠1时 too d lnx 1 =+∞,(1) 1-1(mxy2 1=2 -1(n2)2
◼ 例2 证明 时， 发散 时， 收敛 证 当 时， 当 时， 1 2 (ln ) dx x x + 2 (ln ) dx x x + 1 =1 2 2 2 ln ln(ln ) ln ln x dx d x x x x x + + + = = = = + 1 1 2 2 2 ln 1 1 , ,( 1) (ln ) (ln ) 1 (ln ) x dx d x x x x x + + + − = = = + − 1 1 2 1 1 1 1 ,( 1) 1 (ln ) 1 (ln 2) x + − − = = − − =
例3求反常积分 K e sin xdx COSX 0 +∞ e cosx e cos xa x=0 1-e x=1-(e x sin x+ e sin xdx) x=0 1-K→ k=== esin xdx
例3 求反常积分 0 0 0 0 0 0 0 0 sin ( cos ) cos cos 1 sin 1 ( sin sin ) 1 1 sin 2 x x x x x x x x x x K e xdx e d x e x e xdx e d x e x e xdx K K e xdx + + − − + + − − = + + + − − − = + − = = − = − − = − = − + = − = =
无界函数的反常积分 定义函数(x)在(ab]上连续,点a为fx)的瑕点, 取t>a,若极限 b lim f(dx t→a+Jt 存在,则称此极限为函数x)在(ab上的反 积分,记为 T'f(x)dx b 也称反常积分f(x)收敛,若这极限不存 在,则称反常积分∫(x)女发散
◼ 二 无界函数的反常积分 定义 函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点， 取t>a，若极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反 积分，记为 也称反常积分 收敛，若这极限不存 在，则称反常积分 发散 。 lim ( ) b t t a f x dx → + ( ) b a f x dx ( ) b a f x dx ( ) b a f x dx
■瑕点若函数f(x)在点a的任一邻域无界,则点 a称为函数x)的瑕点 ■无界函数的反常积分又称瑕积分。 设函数fx)在ab]上除去c(a<c<b)上连续,点c 为fx)的瑕点,如果两个反常积分 f(x)dx, f(x)dx 都收敛,则定义(x=[/(x+(x limf(x)dx+lim.f(x)dx 否则,称反常积分。(x)发散
◼ 瑕点 若函数f(x)在点a的任一邻域无界，则点 a称为函数f(x)的瑕点。 ◼ 无界函数的反常积分又称瑕积分。 ◼ 设函数f(x)在[a,b]上除去c(a<c<b)上连续，点c 为f(x)的瑕点，如果两个反常积分 都收敛，则定义 否则，称反常积分 发散。 ( ) , ( ) c b a c f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) b c b a a c t b a t t c t c f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx → → − + = + = + ( ) b a f x dx
■例4计算rldx 2 x 由x=1是被积函数的瑕点,则 X 0 X t→1 XX 77 lim arcsin x 0 7>0 x=0 I-x lim arcsin(l-n-0=arcsinI-n 7→>0 2
◼ 例4 计算 由x=1是被积函数的瑕点，则 1 0 2 1 dx − x 1 0 0 2 2 1 1 1 2 0 0 0 0 0 lim 1 1 lim lim arcsin 1 lim arcsin(1 ) 0 arcsin1 2 t t x dx dx x x dx x x − + + + → − − → → = → = − − = = − = − − = =
■例5判别反常积分r8dx 的敛散性 1/3 因为x=0∈(1-6)是被积函数的瑕点,则,以下 讨论两个反常积分 o dx c8 dx 1/37 l/3 的敛散性 n ax 3 -=lim=x 3 3 lim=(n3-1) 7->0+ 2
◼ 例5 判别反常积分 的敛散性 因为 是被积函数的瑕点，则，以下 讨论两个反常积分 的敛散性 8 1/ 3 1 dx − x x = − 0 ( 1, ) 0 8 1/3 1/3 1 0 , dx dx − x x 2 0 3 1/3 1/3 1 1 0 0 1 2 3 0 3 lim lim 2 3 3 lim ( 1) 2 2 x dx dx x x x + + + − − − → → = − → = = = − = −
8 dx C 01/3-lm 1/3=Im=x3 7→>07x n→>0+2 ■则反常积分 xX 1/3 收敛,且 8 dx =∫ MXC 8d 1y1/3 1/3 1/3 3+69
◼ 则反常积分 收敛，且 8 2 8 8 3 1/3 1/3 0 0 0 3 lim lim 6 2 x dx dx x x x → → + + = = = = 8 1/ 3 1 dx − x 8 0 8 1/3 1/3 1/3 1 1 0 3 9 6 2 2 dx dx dx − − x x x = + = − + =