第六节函数项级数的一致收敛 性及一致收敛级数的基本性质 问题的提出 二、函数项级数的一致收敛性 三、一致收敛级数的基本性质
第六节函数项级数的一致收敛 性及一致收敛级数的基本性质 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、函数项级数的一致收敛性 ◼ 三、一致收敛级数的基本性质 ◼ 四、小结
问题的提出 问题:有限个连续函数的和仍是连续函数,有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢?对于幂函数是这样的,那么对 于一般的函数项级数是否如此?
一、问题的提出 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？ 问题:
例1考察函数项级数 x+(x2-x)+(x-x2)+…+(x"-x)+ 和函数的连续性 解因为该级数每一项都在[0,1是连续的, 且s(x)=x",得和函数: s(x)=lims,(r)=yo 0≤x<1, →0 x=1 和函数(x)在x=1处间断
解 ( ) , n 且 s n x = x 得和函数： 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的， = = = → 1, 1. 0, 0 1, ( ) lim ( ) x x s x s n x n 和函数s(x)在 x = 1处间断. 例1 考察函数项级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 和函数的连续性．
结论函数项级数的每一项在{a,b上连续,并且 级数在[a,b上收敛,其和函数不一定在{a,b上 收敛.同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分 问题对什么级数,能从每一项的连续性得出和 函数的连续性,从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢?
函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b]上 收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分． 结论 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 问题
函数项级数的一致收敛性 定义设有函数项级数∑un、(x)如果对于任意 H=1 给定的正数E,都存在着一个只依赖于E的自 然数N,使得当n>N时,对区间I上的一切 x,都有不等式 r,(x=s(x)s,(x)<e oo 成立,则成函数项级数∑u1(x)在区间/上一致 n=1 收敛于和s(x),也称函数序列sn(x)在区间I上 致收敛于s(x)
二、函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数 =1 ( ) n un x ．如果对于任意 给定的正数 ，都存在着一个只依赖于 的 自 然 数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x，都有不等式 r (x) = s(x) − s (x) n n 成立，则成函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 I上一致 收敛于和s(x)，也称函数序列s (x) n 在区间 I 上 一致收敛于s(x)． 定义
几何解释: 只要n充分大(n>N),在区间Ⅰ上所有曲 线y=Sn(x)将位于曲线 y=(x)+E与y=(x)-E之间 y=s(x)+E s(X y=s(r-8
只要 n充分大 (n N),在区间 I 上所有曲 线 y s (x) = n 将位于曲线 y = s(x) + 与 y = s(x) − 之间. x y o I y = s(x) − y = s(x) + y = s(x) y s (x) = n 几何解释:
例2研究级数 十 十∴ 十 十 x+1(x+2x+1 x+n x+n-1 在区间[0,+∞)上的一致收敛性 解∵Sn(x)= x+n S(x)=lims,(x)=lim—=0(0≤x<+) n→ n=0x+n 余项的绝对值 =s(y)-S.(x x+n(0≤x<+) ≤
研究级数 + + − + + + + + − + + + 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x n x n 在区间[ 0,+ )上的一致收敛性. 例2 解 , 1 ( ) x n s n x + = 0 (0 ) 1 ( ) lim ( ) lim = + + = = → → x x n s x s x n n n 余项的绝对值 (0 ) 1 1 ( ) ( ) + + = − = x x n n r n s x s n x
对于任给E>0,取自然数N≥ 则当n>N时,对于区间0,+∞上的一切x, 有rn(x)<8, 根据定义, 所给级数在区间[0,+上一致收敛于s(x)≡0
对于任给 0，取自然数 1 N ， 则当n N 时，对于区间[0,+]上的一切 x， 有 rn (x) ， 根据定义， 所给级数在区间[0,+]上一致收敛于s( x) 0
例3研究例1中的级数 x+(x2-x)+(x3-x2)+…+(x"-x")+ 在区间(0,1内的一致收敛性 解该级数在区间0,1)内处处收敛于和s(x)≡0, 但并不一致收敛 对于任意一个自然数n,取x 于是 2 2 但s(x,)=0,从而r(xn)=(x)-S(x)
例3 研究例1中的级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s(x) 0， 但并不一致收敛． 对于任意一个自然数 n , 取 n n x 2 1 = ，于是 , 2 1 ( ) = = n n x n x n s ( ) = 0, x n 但 s . 2 1 从而 r n (x n ) = s(x n ) − s n (x n ) =
只要取EB, 因此级数在(0,1)内不一致连续 说明:虽然函数序列sn(x)=x"在(0,1)内处处 收敛于s(x)≡0,但Sn(x)在(0,1)内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的 从下图可以看出
只要取 2 1 ，不论 n多么大，在(0,1)总存在 点xn， ( ) , n x n 使得 r 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出: 但 虽然函数序列 n s n (x) = x 在( 0, 1 )内处处 s(x) 0, s (x) 收敛于 n 在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．