第一节常数项级数的概念 问题的提出 级数的概 三、基本性质 四、收敛的必要条件 五、柯西收敛原理 六、小结
第一节 常数项级数的概念 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、级数的概念 ◼ 三、基本性质 ◼ 四、收敛的必要条件 ◼ 五、柯西收敛原理 ◼ 六、小结
问题的提出 1.计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积a1+a2 正3×2形的面积a1+a2+…+mn A≈a1+a2+…+mn 133 3 3 2 3101001000 10
一、问题的提出 1. 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积 1 a a1 + a2 正 形的面积 n 32 a1 + a2 ++ an n A a + a ++ a 即 1 2 = + + ++ n + 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 2
级数的概念 1.级数的定义: L一般项 o ∑ Ln=W1+W2+M2+…+Ln,+ =1 (常数项)无穷级数 级数的部分和 s =u+u, +.tu n ∑ 部分和数列 S1=W1,S2=l1+l2,S3=l1+l2+l3,… l1+l2+…+Ln
二、级数的概念 1. 级数的定义: = + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 级数的部分和 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3 sn = u1 + u2 ++ un ,
2.级数的收敛与发散 当n无限增大时如果级数∑un的部分和 数列s,有极限s,即 lim s=s则称无穷级数 n→0 co ∑un收敛这时极限叫做级数∑un的和并 1= 写成S=L1+u2+…+L2+ 如果没有极限则称无穷级数∑n发散
2. 级数的收敛与发散: 当n无限增大时,如果级数 n=1 un 的部分和 数 列 n s 有极限s, 即 s s n n = → lim 则称无穷级数 n=1 un 收 敛,这时极限s叫做级数 n=1 un 的 和.并 写 成s = u1 + u2 ++ u3 + 如果 n s 没有极限,则称无穷级数 n=1 un 发散
即常数项级数收敛(发散)lims,存在(不存在) 余项r=S-Sn=Ln+1+un2+…=ln 即Sn≈S误差为rn(imrn=0 n→ 无穷级数收敛性举例:Koch雪花. 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花
即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 + = = + i 1 un i 即 s s n 误差为 n r (lim = 0) → n n r 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3 面积为4√3 第一次分叉: 周长为P2=P, 面积为A2=A1+3·041;依次类推
观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = + = 面积为 周长为 依次类推 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形
第n次分叉: 周长为P=,4P1n=1,2 面积为 An=An-1+3{4(0"A1 9 =A1+3·A1+34·(0)41+…+3·4"2(”A1 =A1{1+[+ )+()2+…+()"2} 33939 39
) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = + + ++ n = 2,3, 周长为 面积为 ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A 第 n 次分叉：
于是有 lim p=oo n→0 1 lmA,=4(+34)=4(+5)= 5 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界
于是有 = → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1 (1 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）．
例1讨论等比级数(几何级数) oo ∑ag"=a+m+a2+…mqn+…(a≠0) H=0 的收敛性 解如果q≠l时 2 Sn=+aq+mq+…+q 一a q
例 1 讨论等比级数(几何级数) = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 的收敛性. 解 如果q 1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − =
当q 时,mq=0…lm、Sn1-q 收敛 n→0 n→0 当q>1时,Iimq"=: lim s=发散 n→0 如果q=时 当q=1时,Sn=m→>发散 当q=-1时,级数变为a-a+a-a+ lms不存在 发散 n→0 当q<1时,收敛 综上∑ 当q≥1时,发散
当 q 1 时 , lim = 0 → n n q q a s n n − = → 1 lim 当 q 1 时 , = → n n lim q = → n n lim s 收敛 发散 如果 q = 1 时 当 q = 1 时 , 当 q = − 1 时, sn = na → 发散 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上 = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 qq aq n n