第六节欧拉柯西近似法 方向场积分曲线 二、欧拉一柯西近似法 三、小结
第六节 欧拉-柯西近似法 ◼ 一、方向场 积分曲线 ◼ 二、欧拉-柯西近似法 ◼ 三、小结
、方向场积分曲线 阶微分方程y=f(x,y 定义1设(1)中右端的函数f(x,y)在区域D内 有定义,那么过D内每一点M(x,y)作一条以 f(x,y)为斜率的直线,并把向量 τ(x,y)={1,f(x,y)} 所指的方向定义为直线的方向这样,对于D内 每一点(x,y),方程1)都确定一个方向与之对应 于是我们说方程(1)在D内确定了一个方向场
一、方向场 积分曲线 设(1)中右端的函数f (x, y)在区域D 内 有定义，那么过D 内每一点M(x, y) 作一条以 f (x, y)为斜率的直线，并把向量 (x, y) = {1, f (x, y)} 所指的方向定义为直线的方向.这样，对于D 内 每一点 (x, y),方 程(1)都确定一个方向与之对应， 于是我们说方程(1)在D内确定了一个方向场． 一阶微分方程 y = f (x, y) (1) 定义1
过D内任一点M(x,y),做一个以M为起点 长度等于九的向量 T ,y {1,f(x,y) √1+f(x,y)2 J 如图所示, 可形象地表示方向场
过D内任一点M(x, y),做一个以M为起点 长度等于的向量 {1, ( , )} 1 [ ( , )] ( , ) 2 0 f x y f x y x y + = 如图所示, 可形象地表示方向场. o x y
定义2方向场中具有同一方向(y=C)的点 的轨迹叫做方程1)的等斜线 等斜线的方程为f(x,y)=C 在这条等斜线上的各点处4x1,C 1+C2 方向场画法适当画出若干条等斜线再在每条 等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量 λτ°,这样即可画出这个方向场
定义2 等斜线的方程为 f (x, y) = C. 在这条等斜线上的各点处 {1, } 1 2 0 C + C = 方向场中具有同一方向( y = C) 的 点 的轨迹叫做方程(1)的等斜线． 方向场画法 适当画出若干条等斜线,再在每条 等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量 0 ,这样即可画出这个方向场
例1画出方程y=√x2+y2所确定的方向 场示意图 解方程的等斜线为x2+y2=C, 取C=0,0.5,1,1.5,2, 画出五条等斜线,再在 每条等斜线上适当选取 若干个点画出对应的向 量λz",如图方向场
例1 画出方程 2 2 y = x + y 所确定的方向 解 方程的等斜线为 , 2 2 x + y = C 取 C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 画出五条等斜线, 再在 每条等斜线上适当选取 若干个点画出对应的向 量 0 ,如图方向场. o x y 场示意图
定义3如果D内的一条曲线在任一点的切 线方向都和方向场在该点处的方向一致,这样 的曲线就是方程1积分曲线 根据方向场即可大致 描绘出积分曲线.如图, 经过点(0,1),(0,0),(0,-1) 的三条积分曲线
o x y 的曲线就是方程 的积分曲线． 线方向都和方向场在该点处的方向一致，这样 如 果 内的一条曲线在任一点处的切 (1) 定义3 D 如图， (0,1),(0,0),(0,−1) 的三条积分曲线． 经过点 根据方向场即可大致 描绘出积分曲线．
欧拉-柯西近似法 问题:一阶微分方程的初值问题 y'=∫(x,y), = 的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办? 方法:近似积分法欧拉柯西近似法 阶微分方程初值问题的解存在及唯一的 充分条件如下定理:
二、欧拉-柯西近似法 问题 : 一阶微分方程的初值问题 = = = , ( , ), 0 0 y y y f x y x x 的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？ 方法：近似积分法——欧拉—柯西近似法． 一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的 充分条件如下定理：
定理设方程(1右端的函数∫(x,y)在闭区域 D上连续,点M(x,y)是D的内点,那末在 闭区域D上,微分方程1通过点M的积分曲 线一定存在。如果在D上也连续,那末这 样的积分曲线是唯一的 注意下面总假定函数∫(x,y)及f(x,y)在 闭区域D上连续
样的积分曲线是唯一的． 线一定存在．如果 在 上也连续，那末这 闭区域 上，微分方程 通过点 的积分曲 上连续，点 是 的内点，那末在 定 理 设方程 右端的函数 在闭区域 D y f D M D M x y D f x y 0 0 0 0 (1) ( , ) (1) ( , ) 注意 闭区域 上连续． 下面总假定函数 及 在 D f x y y f (x, y) ( , )
设方程(1)经过点M(x0,y)的积分曲线为 y=(x),并设当x-H≤x≤x+H时,对应 的一段积分曲线位于D内 在[x,x+团上作欧拉折线 H 把区间[x,x+Hn等分,记h=”,h称 为步长;记x=xn+i 作平行于y轴的直线 x=x(=0,,…,m,如图 0 Hx
的一段积分曲线位于 内． ，并设当 时，对应 设方程 经过点 的积分曲线为 D y x x H x x H M x y = 0 − 0 + 0 0 0 ( ) (1) ( , ) [ , ] : 在 x0 x0 + H 上作欧拉折线 ，如图 作平行于 轴的直线 为步长；记 ， 把区间 等分，记 ，称 ( 0,1,2, , ) [ , ] 0 0 0 x x i n y x x ih h n H x x H n h i i = = = + + = 1 x 2 x x n−1 y o x0 H x
在直线x=x上取点M(x,J)求出函数 值f(x0,yn)=y过点M作以y为斜率的直线 段MM与直线x=x1交于点M1(x,y) 则y1=y+l 求出函数值 M M f(x,)=过点M1Pw 作以y为斜率的直线段 O xoxx,thx 交直线x= 于点M2(x2,y2),则y2=y1+hy1=y+h(y+y1);
则 ； 段 ，与直线 交于点 ， 值 ，过点 作以 为斜率的直线 在直线 上取点 ．求出函数 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) y y hy M M x x M x y f x y y M y x x M x y = + = = = 于点 ，则 ； ，交直线 作以 为斜率的直线段 ，过点 求出函数值 ( , ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 M x y y y hy y h y y M M x x y f x y y M = + = + + = = 1 x 2 x x n−1 y o x0 H x M0 M1 M2