第四节一阶线性微分方程 线性方程 伯努利方程 三、小结
第四节 一阶线性微分方程 ◼ 一、线性方程 ◼ 二、伯努利方程 ◼ 三、小结
线性方程 阶线性微分方程的标准形式: +P(x)y=e(x) 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)主0,上方程称为非齐次的 例如中 db =y+r xsint+t2,线性的 yy-2xy=3,y-cosy=1,非线性的
P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的
阶线性微分方程的解法 1.线性齐次方程+P(x)y=0 (使用分离变量法) dy__P( xl,∫=JP(x)d, lny=-∫P(x)dx+lnC, 齐次方程的通解为y=CJP(k
+ P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)
2.线性非齐次方程"+P(x)y=Q(x 讨论 d_「Q(x) (x)瓜, 两边积分my=/9(s)-JP(x)dk 设∫为vx,:l=()JP(x), 即p=e"x)eP().非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比:C→l(x)
2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: C u(x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数u(x)→原未知函数y(x) 作变换y=l(x)e P(x)dx y=(lJ(+(x)-P(x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x), 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x − P x d x y u x e u x P x e
将y和y代入原方程得u(x)eh=g(x 积分得u(x)=Q(x ∫P(xd dx+c 阶线性非齐次微分方程的通解为: y=[2(r)e ∫r(dx+Cy(xh Ce He o()e d 对应齐次 非齐次方程特解 方程通解
将y和y代入原方程得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x + = ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: + = − P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x + = − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解
1 sinx 例1求方程y+y 的通解 sIn 解P(x)= Q(x) dx sin dx +c sInx e dx+C Gsin xdx+C=cosx+c)
. 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x = = + − e dx C x x y e d x x d x x1 1 sin = + − e dx C x x e ln x sin ln x = ( xdx + C ) x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − + 解例 1
例2如图所示,平行与y轴的动直线被曲 线y=f(x)与y=x(x≥0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x) 解f(x)dx=(x3-y)2 y=x ya=x-y 两边求导得y+y=3x2, =f(x) x 解此微分方程
例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . y y = f (x) ( 0) 3 y = x x f (x) ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = − = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解 解此微分方程 x y o x P Q 3 y = x y = f (x)
y'+y=3x y=ec+∫3xel"dt Ce-x+3x2-6x+6, 由yl=0=0,得C=-6, 所求曲线为y=3(-2ex+x2-2x+2)
+ = − y e C x e dx dx dx 2 3 3 6 6, 2 = + − + − Ce x x x | 0, 由 y x=0= 得 C = −6, 所求曲线为 3( 2 2 2). 2 = − + − + − y e x x x 2 y + y = 3x
二、伯努利方程 伯努利( Bernoulli)方程的标准形式 +P(x)y=Q(x)y(n≠0,1) 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程 解法:需经过变量代换化为线性微分方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 n P x y Q x y dx dy + ( ) = ( ) (n 0,1) 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 二、伯努利方程 当n 0,1时， 当n = 0,1时， 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程