西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（定积分的应用）第二节 平面图形的面积

第二节平面图形的面积 直角坐标系情形 二、极坐标系情形

第二节 平面图形的面积 ◼ 一、直角坐标系情形 ◼ 二、极坐标系情形 ◼ 三、小结

直角坐标系情形 y=∫(x) y宁f2(x) yi=f(r) xx+△ 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=f(x)dx 2(x)-f1(x)

x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 =  b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 =  − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形 xx + x xx

例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) y=r 选x为积分变量x∈|0,1 0.7口.q们nD4B1 面积元素d4=(x-x2)t ht≤/2 3 3

例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 =  − 1 0 3 3 3 2 2 3       = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y

例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成 的图形的面积 6x 解两曲线的交点 yax y=x →(0,0),(-2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈|-2,3 (1)x∈|-2,01,d41=(x3-6x-x2)x (2)x∈|0,3l,d42=(x2-x3+6x)dk

例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点  (0,0), (−2,4), (3,9).    = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −

于是所求面积A=A1+A2 A=2(x3-6x-x)c+(x2-x23+6x)d 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗?

于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 =  − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 +  − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？

例3计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积 解两曲线的交点 2=2x J=x-4 →(2,-2),(8,4) 选y为积分变量y∈|-2,4 J+4y A=|d4=18

例 3 计算由曲线y 2x 2 = 和直线y = x − 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点  (2,−2), (8,4).    = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y       = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4

如果曲边梯形的曲边为参数方科x=p(t) y=y(t) 曲边梯形的面积A=[v(r)p() (其中1和2对应曲线起点与终点的参数值) 在t1,t2l(或[t21])上x=()具有连续导数, y=ψ(t)连续

如果曲边梯形的曲边为参数方程    = = ( ) ( ) y t x t   曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1  =  t t A  t  t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y = (t)连续

2 例4求椭圆,+,=1的面积 x=acos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 a=4 ydx =4 bsin td(a cos t) 4ab2sin2tlt=πb

例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程    = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． =  a A ydx 0 4  = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt   = 2 0 2 4 sin = ab

极坐标系情形 6+d6 设由曲线r=q(及射线 r=p(0) 6=a、θ=B围成一曲边扇 6=B de 形,求其面积.这里,φ() 在[a,B上连续,且q(6)≥0 面积元素MA=,(2lB 0=a0 曲边扇形的面积A=|q(O)2d0

设由曲线r = ( )及射线  = 、 =  围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[,  ]上连续，且( )  0． o x  =  d  =   + d 面积元素 dA   d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2      A d  = 二、极坐标系情形 r = ( )

例5求双纽线p2=a2c0s20所围平面图形 的面积. 解由对称性知总面积=4倍第 象限部分面积 y y=x 4=44 a cos 20de 2 cos 26

例 5 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图形 的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A = 4A1    A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2  = . 2 = a y = x  cos 2 2 2 = a A1