西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）一元函数微积分（定积分）第三节 定积分的换元法和分部积分法

第三节定积分的换元法飞 和分部积分法 ■变量代换公式: 定理 f(x)∈C(La,b]),x=(1)∈C([a,b]),a≤x≤b, a≤t≤B,9(a)=a,(6)=b,→ f()dx=f(o(t)o'(t)dy

第三节 定积分的换元法 和分部积分法 ◼ 变量代换公式： 定理 0 1 ( ) ([ , ]), ( ) ([ , ]), , , ( ) , ( ) , ( ) ( ( )) ( ) b a f x C a b x t C a b a x b t a b f x dx f t t dx             =      = =  =   

例1 Va2-x2dx.x=aint dx=acos tdt. va2-x a cos t (x:0~a,t:0~) 2 sin 2t =a2|2 2 cos tdt 2(1+cos 2t dt=-(t+ 0 2

◼ 例1 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 , sin , cos , cos ( : 0 , : 0 ) 2 sin 2 cos (1 cos 2 ) ( ) 2 2 2 4 a t a x dx x a t dx a tdt a x a t x a t a a t a tdt t dt t a      = − = = − =  = = + = + =  

例2 1 In(1+x) dx→ 01+x (x= tan 0, dx=sec 0d0=(1+ tan-0)dE do dx 1+3x:O~1,O:0~ 4 4 In(1+tan 0)db=4 In cos0+sin 0 0 cos°)he ∫l√2d0+nsm(O+a) 8-Jo In cos ed oln 2+Jo In cos ede- incos ede 8 In 2 8

◼ 例2 1 2 0 2 2 2 4 4 2 0 0 4 4 4 0 0 0 4 4 0 0 ln(1 ) 1 ( tan , sec (1 tan ) , , : 0 1, : 0 ) 1 4 cos sin ln(1 tan ) ln( ) cos ln 2 ln sin( ) ln cos 4 ln 2 ln cos ln cos 8 ln 2 8 x dx x x dx d d dx d x x d d d d d d d                                  +  + = = = + = + + = + = = + + − = + − =       

■定积分的分部积分公式: x)y(x)dk=xx)-J(x)(x)k b →(x)h(x)=(x(x) v(xdu(x) X-a 注:这个公式发挥作用时,求x)y(x) 比较困难,而求t(x(x)x比较容易

◼ 定积分的分部积分公式： ◼ 注：这个公式发挥作用时，求 比较困难，而求 比较容易。 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b x a a a b b b x a a a u x v x dx u x v x u x v x dx u x dv x u x v x v x du x = =   = −  = −     ( ) ( ) b a u x v x dx   ( ) ( ) b a u x v x dx  

例3 被积函数不 x arctan xdx 可直接积出 arctan xd() 被积函数可 以直接积出 2 3 arct anx dx x=0 02(1+x2) 3 7 x +-arct an x 232 =0 2x√3 3 2

◼ 例3 3 0 2 3 0 2 2 3 3 0 2 0 3 3 0 0 arctan arctan ( ) 2 arct an 2 2(1 ) 3 1 arct an 2 3 2 2 2 3 3 2 x x x x xdx x xd x x x dx x x x   = = = = = − + = − + = −    被积函数不 可直接积出 被积函数可 以直接积出

■例4 SIn x cdx COS XO dx 丌 2 sin -xd( cos x)=-sin"m-x cos x 2 +2(m-1)sin" -x cos xdx 丌 =k2(m-1)sin -x(1-sin x)dx=( 1-m)I+(m-1)/> 当m为正奇数时 1! ■当m为正偶数时

◼ 例4 ◼ 当m为正奇数时， ◼ 当m为正偶数时， 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 2 2 sin cos sin ( cos ) sin cos ( 1)sin cos ( 1)sin (1 sin ) (1 ) ( 1) 1 m m m m m m x m m m m m I xdx xdx xd x x x m x xdx m x x dx m I m I m I I m       − − − = − − − = = = − = − + − = − − = − + −  − =      ( 1)!! !! m m I m − = ( 1)!! !! 2 m m I m −  =

■例5 4 tann xdx=4(tan2n-2x(secx-1)dx tan xd tan x 2n-1 n-12n-1 tan 2n-1 2n-12n-3 n-2 555 +(-1)0 2n-12n-32n-5 丌 =(-1)[-( +2,+(- 2n+1

◼ 例5 4 4 2 2 2 2 0 0 4 2( 1) 2 1 4 1 1 0 0 1 2 0 tan (tan )(sec 1)) 1 tan tan tan 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ,,,,,, 2 1 2 3 1 1 1 ,,,, ( 1) 2 1 2 3 2 5 1 1 1 ( 1) [ (1 ,,,, ( 1) )] 4 3 5 2 1 n n n n n n n x n n n n n n I xdx x x dx xd x I x I n I n I I n n I n n n n      − − − − − = − − = = − = − = − − = −  − = − − = − − = − + − + − − − − = − − − + + + − +   