第三节体积 旋转体的体积 二、平行截面面积为以知的立体的体积
第三节 体积 ◼ 一、旋转体的体积 ◼ 二、平行截面面积为以知的立体的体积 ◼ 三、小结
、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积
般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x) 直线x=、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为r, y=∫(x) x∈|a, 在[a,b上任取小区 b y 间[x,x+xl, 取以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,d=叫f(x)2d 旋转体的体积为 b 叫f(x)dx
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = y = f (x)
例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕v轴旋 转构成一个底半径为、高为的圆锥体,计算 圆锥体的体积 解直线OP方程为 取积分变量为x,x∈[0,h 在[0,上任取小区间x,x+tx]
y 例 1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋 转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ， x[0,h] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为
以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 dⅣ=xd 圆锥体的体积 2 h h πhr x dx h23 3 0
以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2 = 圆锥体的体积x dx h r V h 2 0 = h x h r 0 3 2 2 3 = . 3 2 hr = y r h P x o
2 例2求星形线x3+y3=a3(a>0)绕轴旋转 构成旋转体的体积 2 解 2 a- x∈-,a 旋转体的体积 3 32 叫-x T 105
− a a o y x 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)绕x 轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2 y = a − x 3 3 2 3 2 2 y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a
类似地,如果旋转体是由连续曲线 x=φ(y)、直线y=C、y=d及轴所围 成的曲边梯形绕ν轴旋转一周而成的立体 体积为 兀|q(y)]y x=y
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y)、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )] = d c V
例3求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) 的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴 旋转构成旋转体的体积 解绕x轴旋转的旋转体体积 y(x) 2元a πy(x ra x 2T2 (1-cost).a(1-cos t)dt 0 2兀 Ta'(1-3 cost+3cost-cos't)dt=5x2a
例 3 求摆线 x = a(t − sin t)， y = a(1 − cos t) 的一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a a 2a y(x)
绕y轴旋转的旋转体体积 B=x2(y) 可看作平面图OABC与OBC =x1(y) 2Ta x 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差 2a nx2(y 7)dt/2a Txf(y)dt T πa2(t-sin a sin tdt 2兀 -a2(t-sint)2.asin td. 2元 πa。(t-sint)2 sin tdt=6m 0
绕y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC 与OBC 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2 = x y dt a ( ) 2 2 0 1 − o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a
补充如果旋转体是由连续曲线y=f(x) 直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体,体积为 b V=2兀x|f(x)|d 利用这个公式,可知上例中 2πa Vr=2T xIf(x)ldx 2兀 =2 a(t-sint) a(1-cos t)d[a(t-sin t) 0 2Ta 3c27 (t-sint) (1-cos t)dt= 6t
补充 如果旋转体是由连续曲线y = f ( x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x dx b a y 2 | ( ) | = 利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( ) | 2 0 = = − − − 2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)] = − − 2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 = a