第一节定积分的概念与性质 一问题举例 二定积分的定义 定积分的性质
第一节 定积分的概念与性质 ◼ 一 问题举例 ◼ 二 定积分的定义 ◼ 三 定积分的性质
问题举例 曲边梯形的面积 ■在实践中要计算曲线围城的图形的面积,其 图形一般是不规则的。以计算曲边梯形面积 为例,首先可以先求其近似值,将以曲线为 边界的区域分成小块,每小块近似于小梯形, 这些小梯形面积之和即是曲边梯形面积的近 似值,可以想象,若分割越细,近似程度越 ■这是个计算和式的极限的问题—定积分
◼ 一 问题举例 ◼ 1。 曲边梯形的面积 ◼ 在实践中要计算曲线围城的图形的面积，其 图形一般是不规则的。以计算曲边梯形面积 为例，首先可以先求其近似值，将以曲线为 边界的区域分成小块，每小块近似于小梯形， 这些小梯形面积之和即是曲边梯形面积的近 似值，可以想象，若分割越细，近似程度越 高。 ◼ 这是个计算和式的极限的问题——定积分
■具体过程是这: 在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<x2<…<xn=b 把[a,b]分成n个小区间x,x]x,x2],x21,x ■它们的长度依次为: XI 2 2 222222 n-15 过每一个分点作平行于y轴的直线段,分曲边 梯形为n个窄曲边梯形,对Ⅴ∈[x1,x] 得 区间任 意数 f(514x+∫(22)Ax2+……f(5n)Axn≈A
◼ 具体过程是这： ◼ 在区间[a,b]中任意插入若干个分点 ◼ 把[a,b]分成n个小区间 ◼ 它们的长度依次为： ◼ 过每一个分点作平行于y轴的直线段，分曲边 梯形为n个窄曲边梯形，对 ◼ 得 0 1 2 ...... n a x x x x b = = 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ],,,,,,,[ , ] n n x x x x x x − 1 1 0 2 2 1 1 , ,,,,,,, , n n n x x x x x x x x x = − = − = − − 1 [ , ] i i i x x − 1 1 2 2 ( ) ( ) ...... ( ) n n f x f x f x A + + + 区间任 意数
即,n个窄矩形面积之和作为所求的曲边梯形 面积A的近似值 记=max{Ax1,△x2,2,△xn} 则,当λ→0时,上述和式的极限即是曲边 梯形的面积 n→)+0o A=im∑f(5)x
◼ 即，n个窄矩形面积之和作为所求的曲边梯形 面积A的近似值。 ◼ 记 ◼ 则，当 时，上述和式的极限即是曲边 梯形的面积。 max{ , ,,,, } 1 2 n = x x x →0 0 1 lim ( ) n i i i A f x → = = n → +
2变速直线运动的路程 计算作变速直线运动的物体在某段时间内移 动的位移? 分析:在间隔极短时间内,速度可以近似为 等速,则我们可以时间分段,在每段用等速 运动算出位移,再求和,即得整个路程的近 似值,再通过无限细分时间这极限过程,这 极限就是所求的变速运动的路程
◼ 2 变速直线运动的路程 ◼ 计算作变速直线运动的物体在某段时间内移 动的位移？ ◼ 分析：在间隔极短时间内，速度可以近似为 等速，则我们可以时间分段，在每段用等速 运动算出位移，再求和，即得整个路程的近 似值，再通过无限细分时间这极限过程，这 极限就是所求的变速运动的路程
■具体步骤: 在[2内任意插入若干分点 to <t <t.,<t.=T 则[G2]被分成[,4【1,2,[Ln12 其长依次为:A1=1-1n,A2=12-412,2,△Ln=Ln-tn1 再任取τ;∈[1,4li∈(1,2,m),得As≈v(z1)A 即各时段的路程用等速运动近似代替, 所求位移的近似值是: S≈v(x1)A1+v(z2)A2+,+v(zn)△Mtn
◼ 具体步骤： 在 内任意插入若干分点 则 被分成 其长依次为： 再任取 ，得 即各时段的路程用等速运动近似代替， 所求位移的近似值是： 1 2 [ , ] T T1 0 1 1 2 ,,,,,,, T t t t t T = = n n − 1 2 [ , ] T T 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ],,,,,,,[ , ] n n t t t t t t − 1 1 0 2 2 1 1 , ,,,,,,, , n n n t t t t t t t t t = − = − = − − 1 [ , ], (1,2,,,, ) i i i t t i n − ( ) i i i s v t 1 1 2 2 ( ) ( ) ,,,,,,, ( ) n n S v t v t v t + + +
记=max{△4,△2,2△xn}当x→>0时 上式和式的极限即是变速直线运动的路程 s=lim∑v(,)At
◼ 记 当 时 上式和式的极限即是变速直线运动的路程 max{ , ,,,,, } 1 2 n = t t t →0 0 1 lim ( ) n i i i S v t → = =
二定积分的定义 ■定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[ab] 中任意插入若干个分点 a=X <x, <x <X b n 把区间[ab分成n个小区间 [x。,x1],[x1,x2],3,[xn1,x] 各个小区间的长度依次为 x-x0,△x2 222222
二 定积分的定义 ◼ 定义 设函数 在[a,b] 上有界，在[a,b] 中任意插入若干个分点 把区间[a,b]分成n个小区间 各个小区间的长度依次为 f x( ) 0 1 2 ...... n a x x x x b = = 1 1 0 2 2 1 1 , ,,,,,,, , n n n x x x x x x x x x = − = − = − − 0 1 1 2 1 [ , ],[ , ],,,,,,,[ , ] n n x x x x x x −
■在每个小区间[x1,x]上任取 ;(x ))) 作函数值f(5)与小区间长度Ax2的乘积f()Ax 并作出和 S=∑f(5)x 记x=max{△x1,△x2,△xn} 若不论对[ab这样分发,[x1,x上点怎样取法 只要当λ→>0时,S总趋于确定的极限I,我们称 这极限Ⅰ为函数fx)在区间[ab]上的定积分,记 为「f(x)dk,即
◼ 在每个小区间 上任取一点 作函数值 与小区间长度 的乘积 并作出和 记 若不论对[a,b]这样分发， 上点 怎样取法 只要当 时，S总趋于确定的极限I，我们称 这极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记 为 ，即 1 [ , ] i i x x − 1 ( ) i i i i x x − ( )i f i x ( )i i f x 1 ( ) n i i i S f x = = max{ , ,,,, } 1 2 n = x x x 1 [ , ] i i x x − i →0 ( ) b a f x dx
∫(x)kx==1m∑/(5)Ax ■其中f(x)叫做被积函数,f(x)x叫做被积 表达式,ⅹ叫做积分变量,a叫做积分下限,b 叫做积分上限,[a,b]叫做积分区间 如果上述极限存在,我们也叫函数fx)在区间 ab]上可积
◼ 其中 叫做被积函数， 叫做被积 表达式， x叫做积分变量，a叫做积分下限，b 叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。 ◼ 如果上述极限存在，我们也叫函数f(x)在区间 [a,b]上可积。 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i f x dx I f x → = = = f x( ) f x dx ( )