第七节可降阶的高阶微分方程 ,n) )=f(,y,,y3n-1) 三、恰当导数方程 四、齐次方程 五、小结思考题
第七节可降阶的高阶微分方程 ◼ 一、 ◼ 二、 ◼ 三、恰当导数方程 ◼ 四、齐次方程 ◼ 五、小结 思考题 ( ) ( ) ( 1) ( , ,..., ) n k n y f x y y − = ( ) ( 1) ( , ,..., ) n n y f y y y − =
y(n=f(x,y( )型 特点:不显含未知函数y及y,…,y4- 解法:令y6)=P(x) 则y4+)=P,y 代入原方程,得 P(x)的(n-k)阶方程 P=f(x,P(x),…,P((x).求得P(x) 将y6)=P(x)连续积分k次,可得通解
代入原方程, 得 解法： 特点： , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y ( ) ( ) y P x k 令 = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 = = ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− = P(x)的(n-k)阶方程 求得 P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 一、 y f x y y 型
例1求方程xy3-y4=0的通解 解设y=P(x) (5 代入原方程xP-P=0,(P≠0) 解线性方程,得P=C1x即y4=C1x 两端积分,得y"=C1x2+C2, 2 y=x5+2x32+3x2+C4x+C5, 原方程通解为y=d1x3+d2x3+d3x2+d2x+ds
0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 解 ( ), (4) 设 y = P x 代入原方程 xP − P = 0, 解线性方程, 得 P = C1 x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = P x （P 0） , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 1 y = d x + d x + d x + d x + d 例 1
n)=∫(y (k) )型 特点:右端不显含自变量 解法:设y=p(y)则y=2.中=n", 中yx 2 d P +P( 代入原方程得到新函数P(y)(n-1阶方程 求得其解为=P(y)=p(y,C1,…,Cn1) 原方程通解为 1,,C,)=x+C n 5
设 y = p( y) , dy dP p dx dy dy dp 则 y = = 代入原方程得到新函数 P( y)的(n − 1)阶方程， 求得其解为 原方程通解为 , ( , , , ) 1 1 n n x C y C C dy = + − 特点： 右端不显含自变量x. 解法： ( ) , 2 2 2 2 dy dP P dy d P y = P + , ( ) ( , , , ), = = C1 Cn−1 P y y dx dy ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 二、 y f y y y 型
例2求方程y”-y2=0的通解 解设y=p(y),则y=p dP dP 代入原方程得yP,-P2=0,即P(y P)=0 小y 小y P=0,可得P=C1y C1υy,原方程通解为y=C2e dx
0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dy dP 设 y = p( y), 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0， dy dP y , 1 可得 P = C y . 1 2 C x , 原方程通解为 y = C e 1 C y dx dy = 例 2
、恰当导数方程 特点左端恰为某一函数Φ(x,y,y,…,ym 对x的导数,即,Φ(x,y,y,…,y(m)=0 解法:类似于全微分方程可降低一阶 Φ(x,y,y!,…,y")=C, 再设法求解这个方程
特点 , ( , , , , ) 0. ( , , , , ) ( 1) ( 1) = − − n n x y y y dx d x x y y y 对 的导数 即 左端恰为某一函数 解法：类似于全微分方程可降低一阶 ( , , , , ) , ( 1) x y y y C n = − 再设法求解这个方程. 三、恰当导数方程
例3求方程yy"+y2=0的通解 解将方程写成(yy)=0, 故有yy′=C1,即y=C, 积分后得通解y2=C1x+C2 注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程
0 . 求方程 yy + y 2 = 的通解 解 将方程写成 ( yy) = 0, dx d , C1 故有 yy = , 即 ydy = C1dx 积分后得通解 . 1 2 2 y = C x + C 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 例 3
四、齐次方程 特点:F(x,,y,…,)=rF(x,y,y,…,y(") zdx 解法:可通过变换y=e k次齐次函数 将其降阶,得新未知函数zx) y=e y"=(x+x2)e y=Φ(z,z,…,zm)e 代入原方程并消去 klax
特点： 解法： ( , , , , ) ( , , , , ) (n) k (n) F x ty ty ty = t F x y y y k次齐次函数 = zdx 可通过变换 y e 将其降阶, 得新未知函数 z(x). , = zdx y ze ( ) , 2 = + zdx y z z e , ( , , , ) , ( ) ( 1) = − zdx n n y z z z e 四、齐次方程 , k zdx 代入原方程并消去 e
得新函数z(x)的(n-1阶方程 ∫(x,z,z,,z(-)=0 例4求方程x2yy"=(y-xy)2的通解 21 解设y=e,代入原方程得z+2z= 解其通解为z1,C1 +2) 原方程通解为y=ex 2-ter C
得新函数z(x)的(n −1)阶方程 ( , , , , ) 0. ( 1) = n− f x z z z ( ) . 求方程 x 2 yy = y − xy 2 的通解 解 , = zdx 设 y e 代入原方程,得 , 2 1 2 x z x z + = , 1 2 1 x C x 解其通解为 z = + . 1 2 1 2 ) 1 ( x C dx x C x y e C xe + − = = 原方程通解为 例 4
五、小结 解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解 例5求方程y"-y2=0的通解 解两端同乘不为零因子 29 2 yy -y 2 )=0,故y=C1J, 从而通解为y=C2e
五、小结 解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , 1 2 y 两端同乘不为零因子 ( ) 0, 2 2 = = − y y dx d y yy y , 1 故 y = C y 从而通解为 . 1 2 C x y = C e 例 5