第十 微分方程的幂级数解法 一、问题的提出 f(x,y)特解的求法 三、阶齐次线性方程幂级数求法
第十二节 微分方程的幂级数解法 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、 特解的求法 ◼ 三、二阶齐次线性方程幂级数求法 ◼ 四、小结 ( , ) dy f x y dx =
问题的提出 例如 r t y 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法:幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法
一、问题的提出 , 2 2 x y dx dy 例如 = + 解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 数值解法. 卡比逐次逼近法;
二dx f(x,y)特解求法 问题求=f(x,y满足y=n=y的特解 其中f(x,y)=am+an(x-x)+an(y-yn) +…+am1(x-x0)(jy-y) 嗌熔创山爸士婵一晝涵剩 y=yo+a,(x-xo)+a2(x-xo)+ 其中a1,an2…,an,…为待定的系数
二、 f ( x, y ) 特解求法 dx dy = 问题 ( , ) . 求 f x y 满足 y 0 y0 的特解 dx dy = x= x = ( ) ( ) . ( , ) ( ) ( ) 0 0 00 10 0 01 0 l m l m a x x y y f x y a a x x a y y + + − − = + − + − 其中 , 假设所求特解可展开为 x − x0的幂级数 y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + , , , , . 其中a1 a2 an 为待定的系数
例1求 y x+y2满足yl=0的特解 解 设y=a1x+a2x2+a3x3+…+anx"+…, y=a1+2a2x+303x2+…+nanx+…, 将y,y的幂级数展开式带入原方程 a1+2a2x+33x2+44xC°+ =X+(1x+a2x2+a3x+a4x4+
| 0 . 0 求 = x + y 2 满足y x= = 的特解 dx dy 解 x 0 = 0 ， 0 , y 0 = , 3 3 2 设 y = a1 x + a2 x + a x ++ an x n + 将 y, y的幂级数展开式带入原方程 a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 +4 2 4 3 3 2 1 2 = x + (a x + a x + a x + a x +) 2 3 , 2 1 3 1 y = a1 + a2 x + a x ++ nan xn− + 例 1
=x+a1x2+2u142x3+(a2+2a1a3)x+… 比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 0 =0,a4=0, 2 20 所求解为y=2x2+20x2+ 小结:无初始条件求解 可设p=C+∑anx”(C是任意常数)
, , 20 1 , 0, 0, 2 1 0, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = . 20 1 2 所求解为 y = 1 x 2 + x 5 + = x + a1 2 x 2 + 2a1 a2 x 3 + (a2 2 + 2a1 a3 )x 4 + 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得 小结: 无初始条件求解 = = + n 1 n 可设 y C an x (C是任意常数)
二阶齐次线性方程幂级数求法 定理如果方程y”+P(x)y+Q(x)y=0中的系数 P(x)与Q(x)可在-R<x<R内展为的幂级数, 那么在一R<x<R内原方程必有形如 y=∑a =0 的解
如果方程y + P( x) y + Q( x) y = 0中的系数 P(x)与Q(x)可在− R x R内展为x 的幂级数, 那么在− R x R内原方程必有形如 n n n y a x = = 0 的解. 定理 三、二阶齐次线性方程幂级数求法
作法设解为y=∑anx", 将P(x),Q(x),f(x)展开为x-x0的幂级数, 比较恒等式两端x的同次幂的系数,确定y 例2求方程y-x-y=0的解 解设方程的解为y=∑ax", ∑
作法 , 0 = = n n 设解为 y a n x 将 P(x),Q(x), f (x) 展开为 x − x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 求方程 y − xy − y = 0的解. , 0 n n y a n x = 解 设方程的解为 = 例2 , 1 0 − = = n n 则 y na n x
y"=∑m(n-1)anx"2=∑n+2)n+1)an12xn 将y,y3,y"带入y"-xy-y=0, ∑( n+2)(n+1ax"x>nax n+ ∑anx 0 n=0 ∑(m+2)mn+1)an2-(mn+1)anx"=0, n=0,1,2 n+2 n+2
2 1 ( 1) − = = − n n y n n an x 将 y, y , y 带入 y − xy − y = 0, ( 2)( 1) , 0 2 n n n n a n x = = + + + 0, 0 − = = n n a n x 1 0 − = − n n x nan x n n n n an x = + + + 0 2 ( 2)( 1) [( 2)( 1) ( 1) ] 0, 0 + + 2 − + = + n n n n a n n a n x , 2 2 + + = n a a n n n = 0,1,2,
2k !2 k 5 8 3 3 15 +(2k+1)! 原方程的通解 k=1,2,3, x2m 2n+1 ∑ 2"n +a2 (2n+1)! (an,a是任意常数)
, 3 1 3 a a = , 15 1 5 a a = , (2 1)!! 1 2 1 + + = k a a k k = 1,2,3, , 2 0 2 a a = , 8 0 4 a a = , ! 2 0 2k k k a a = 原方程的通解 = + = + = + 0 2 1 1 0 2 0 2 ! n (2 1)!! n n n n n x a n x y a ( , ) a0 a1是任意常数
微分方程解题思路 四、小结 作变换 分离变量法 非非 一阶方程 全微分方程积分因子变全 量微 作降 可分 变阶 常数变易法 分方 换 离程 高阶方程 特征方程法 幂级数解法 待定系数法
四、小结 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 幂级数解法 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子