浙江大学 二OO二年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目:数学分析 、(共30%) (A)(10%)用“E-δ语言”证明lim (B)(10%)给出一个一元函数∫,在有理点都不连续,在无理点都连续,并证明之 (C)(10%)设∫(x,y)为二元函数,在(x0,y0)附近有定义,试讨论“f(x,y)在(x,y0) 处可微”与“f(x,y)在(x0,y0)附近关于x、y的偏导数都存在”之间的关系,必要时 请给出反例。 (共30%) x+ (A)(5%)设f(x) ,数列{xn}由如下递推公式定义:x0=1,xn1=f(xn) (n=0,1,2,…),求证: lim x=√2。 (B)(5%)求lim,cos (C)(5%)求∫(0),(n=0,1,2,…),f(0)=0,f(x)=e(当x≠0时)。 (D)(5%)求不定积分 E)(5%)证明:5(x)=∑1在(1o)上连续可微 (共20%) (A)(10%)求第一型曲面积分I ,其中h≠R √x2+y2+(c-b)2 (B)(10%)设a、b、c为三个实数,证明:方程e=ax2+bx+c的根不超过三个。 四、(共20%) 设∫n(x)=cosx+cos2x+…+cos"x,求证 (A)(10%)对任意自然数n,方程∫n(x)=1在[0,x/3)内有且仅有一个正根; (B)(10%)设xn∈[0,1/3)是fn(x)=1的根,则 lim x=/3
浙 江 大 学 二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析 一、（共 30％） （A）（10％）用“e - d 语言”证明 0 3 ( 2)( 1) lim 1 = - - - Æ x x x x ； （B）（10％）给出一个一元函数 f ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之； （C）（10％）设 f (x , y ) 为二元函数，在( , ) 0 0 x y 附近有定义，试讨论“ f (x , y ) 在( , ) 0 0 x y 处可微”与“ f (x , y ) 在( , ) 0 0 x y 附近关于 x 、 y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时， 请给出反例。 二、（共 30％） （A）（5％）设 1 2 ( ) + + = x x f x ，数列{ x n }由如下递推公式定义： 1 x 0 = ， ( ) n 1 n x = f x + ， (n = 0 ，1，2 ，L ) ，求证：lim = 2 Æ• n n x 。 （B）（5％）求 2 1 lim cos x x x ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê Æ• 。 （C）（5％）求 (0 ) (n) f ，(n = 0 ，1， 2 ，L ) ， f (0 ) = 0 ， 2 1 ( ) x f x e - = （当 x ¹ 0 时）。 （D）（5％）求不定积分 x dx Ú + 2 1 。 （E）（5％）证明：  • = = 1 1 ( ) n x n V x 在(1 ,•) 上连续可微。 三、（共 20％） （A）（10％）求第一型曲面积分 ÚÚ + + = + + - = 2 2 2 2 2 2 2 x y z R x y (z h) dS I ，其中h ¹ R 。 （B）（10％）设a 、b 、c 为三个实数，证明：方程e ax bx c x = + + 2 的根不超过三个。 四、（共 20％） 设 f x x x x n n ( ) cos cos cos 2 = + + L + ，求证： （A）（10％）对任意自然数n ，方程 f (x ) = 1 n 在[0 ,p / 3 ) 内有且仅有一个正根； （B）（10％）设 xn Œ [0 ,1 / 3 ) 是 f (x ) = 1 n 的根，则lim = p / 3 Æ• n n x