定积分习题课
主要内容 存在完理(定积 可积条件 的定 计 定积 性积 牛顿-莱布尼茨公式 质分 f(x)=Fb)-F()法分
问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 可积条件 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 计 算 法 牛顿-莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 一、主要内容
1、问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积A) 曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0) x轴与两条直线x=a、x=b所围成 A=lim∑f(5)Ax
1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） i n i A = f i x = → lim ( ) 1 0 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线x = a 、x = b所围成
实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间 间隔{T1,T2lHt的一个连续函数,且v(t)≥0,求 物体在这段时间内所经过的路程S s=im∑v(z)△ 方法:分割、求和、取极限
实例2 （求变速直线运动的路程） i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间 间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0， 求 物体在这段时间内所经过的路程 S. 方法:分割、求和、取极限
2、定积分的定义 定义设函数f(x)在ab上有界,在ab中任意 若干若干个分点 =x<x.<x.<∴<x.<x=b 把区间[a,b分成n个小区间, x0,x1,[x1,x2l,…[xn=1,xn1 各小区间的长度依次为△x1=x1-x-1,(i=1,2,…) 在各小区间上任取一点(5∈△x;)
2、定积分的定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意 若干若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )， 在各小区间上任取 一点 i （ i xi）， 定义 [ , ],[ , ], [ , ], x0 x1 x1 x2 xn−1 xn
作乘积f(4)△(=12,)并作和S=∑f(△x, 记=maxx12△x2,…,An},如果不论对a,b 怎样的分法,也不论在小区间x1,2x;上点5怎样 的取法,只要当→0时,和S总趋于确定的极限I, 我们称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分 记为Jmf(x)d==im∑f(5)Ax
怎样的分法， = = b a f (x)dx I i i n i f x = → lim ( ) 1 0 . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1
3、可积条件 可积的充分条件: 定理1当函数f(x)在区间a,b上连续时 称f(x)在区间a,b上可积 定理2设函数f(x)在区间a,b上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在区间 a2b上可积 定理3若f(x)是区间ab上的单调函数,则 f(x)在a,b]上可积
可积的充分条件： 定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、可积条件 定理 3 若 f (x) 是区间[a,b]上的单调函数，则 f (x)在[a,b]上可积
Riemann可积的第一充要条件 f(x)在[ab]上 Riemann可积 "f(x)x=lmn2MA=1mn∑mAx=广f(x 其中
Riemann可积的第一充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0 = = = → 1 1 sup{ ( ) : } inf{ ( ) : } i i i i i i M f x x x x m f x x x x − − = = 其中： xi-1 xi xi-1 xi
Riemann可积的 其中: f(x)在[ab]上 Riemann可积 V>0.3分划,使得∑OA≤E i=1
Riemann可积的第二充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 = i n i i T x 1 0, 分划 ，使得 1 1 sup{ ( ) : } inf{ ( ) : } i i i i i i i i i M f x x x x m f x x x x M m − − = = = − 其中： xi-1 xi
Riemann可积的第三充要条件 ∑Ax=∑oAx+∑0△x 127 10,3分划7,使得所有振幅a≥n 的小区间△的总长度不超过E
Riemann可积的第三充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 注：连续函数、只 有有限个间断点的 有界函数和闭区间 上的单调函数 Riemann可积 的小区间 的总长度不超过 ， 分划 ，使得所有振幅 i T i 0, i i i i i n i i x x x i i = + = 1 其中([ , ], ) [ , ] a b f f a b 为 在 上的振幅 ([ , ], ) i i i i a b f x x + xi-1 xi ([a,b], f ) +(b − a)
