9.3 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收斂 三、阿贝余判别法和秋皇克香列
9.3 一般项级数 一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、 阿贝尔判别法和狄里克雷判别法
、交错级数及其审敛法 定义:正、负项相间的级数称为交错级数 ∑(-1),或∑(-1)n(其中un>0 nE 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (i)un≥un+1(n=1,2,3,…);(i) lim u=0, n→0 则级数收敛,且其和s≤u1,其余项n的绝对值 ≤L
一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. n n n n n n u u = = − − − 1 1 1 ( 1) 或 ( 1) 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un un+1 n = ;(ⅱ)lim = 0 → n n u , 则级数收敛,且其和 u1 s ,其余项n r 的绝对值 n un+1 r . ( 0) 其中un
证明: n-1-ln2≥0 2=(u1-2)+(u3-4)+…+(u2n 数列s2是单调增加的, 又s2n=B1-(u2-u3)-…-(u2 2n-2 2n-1 2n ≤1数列s2,是有界的, ∴lims2n=S≤u1,:limu2n+1=0, n→0
证明 n u u u u n u n u n s2 1 2 3 2 2 2 1 2 又 = − ( − ) −− ( − − − ) − ( ) ( ) ( ) 2n u1 u2 u3 u4 u2n 1 u2n s = − + − ++ − − u1 0, un−1 − un lim . 2 u1 s s n n = → lim 0, 2 +1 = → n n u , 数列 s2n是单调增加的 , 数列 s2n是有界的
ims2n+1=lm(52n+2+)=s n→0 n→0 级数收敛于和s,且s≤u1 余项rn=±(un1-un2+…)2 LL,+ 2 满足收敛的两个条件,≤ n+1 定理证毕
lim lim( ) 2 1 2 2 +1 → + → = n + n n n n s s u = s, , . u1 级数收敛于和s 且s ( ), 余项rn = un+1 − un+2 + , rn = un+1 − un+2 + 满足收敛的两个条件, . n un+1 r 定理证毕
例1判别交错级数1-1+1-1+ 234 的敛散性 11 解 n+1(n=1,2,…) nn+1 又mu =0 n→00 故级数收敛
解 ( 1，2，） 1 1 1 = 1 = + = u + n n n un n lim = 0 → n n 又 u 故级数收敛. . 4 1 3 1 2 1 1 1 的敛散性 例 判别交错级数 − + − +
例2判定下列级数是否条件收敛?是否绝对收敛? ∑(-1) 解 n2+1n+nn+1 而∑,发散,所以∑mn散 n 从而∑(1y 非绝对收敛(六) 又m2=im-方 0 n→ n→>on2+1 设f(x)=,2(x≥1)则f(x)= (+x)so(x2D f(x)在[,+∞)上单调递减un≥ 由莱布尼兹判别准则(-1)12,收敛。( 故:由(*)、(**)原级 收
从 而 ( ) 非绝对收敛（*） 1 1 1 2 1 − + − n n n 解 例2 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？ 1 2 + = n n un 而 发散 =1 + 1 1 n n ，所以 发散 n=1 un 0 1 lim lim 2 = + = → → n n u n n 又 n ( 1) 1 ( ) 2 + = x x x 设f x ( ) 2 2 2 ' 1 1 ( ) x x f x + − 则 = 0(x 1) f (x)在[1，+ ）上单调递减 ( ) 1 2 1 1 1 1 n n n − − + （） un un+1 故：由（* ** ）、（ ）原级数条件收敛。 1 1 2 + = + n n n n 由莱布尼兹判别准则， ( ) 收敛。（**） 1 1 1 2 1 − + − n n n
(2)∑(-1)( 解{a=(m+1-n)=√n+1+√m2√n 而∑,发散所以∑n发散 n=1 从而之(1y(m+1-m)非绝对收敛 又mmn=mm(m+1-)m√m+1+√m=0 n+1-√n n+1+√n √n+1+√n+2 n+1 故:原级数条件收敛
从 而 ( ) ( )非绝对收敛 − − + − 1 1 1 n 1 n n 解 u ( n n) n = +1 − 而 发散 =1 2 1 n n ，所以 发散 n=1 un u ( n n) n n n = + − → → 又lim lim 1 ( ) ( ) 1 1 2 1 1 n n n − （ ） − + − n + + n = 1 1 2 n 1 n n + + n = → 1 1 lim = 0 n n un n n + + = + − = 1 1 1 1 1 2 1 = + + + + un n n 故：原级数条件收敛
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件; 思考:莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立, 结果如何? 2.判定Mm+1<Mn的方法 1)un1-ln<0;2)4m<1 3)相应函数的单调性
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件； 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 结果如何？ 2.判定 un+1 un 的方法 1)un+1 − un 0； 2） +1 1； n n u u 3）相应函数的单调性
例3.设an>0(n=1,2 判别∑ 的敛 解由题设知n}单调递减且有下, 所以{an)有极限。不妨设mnan=l(≥0).若1=0 n→)0 则由莱布尼兹判别准则交错级数∑(-1an收敛 与题设矛盾,故iman=l>0 n→>0o 由根值判别法,有故im n→(1+a 1-)001+a 1+l 故∑ 收敛 1+a
1 1 1 3. 0( 1,2, ), ( 1) , 1 1 n n n n n n n n a n a a a − = = = − + 例 设 单调递减， 发散 判别 的敛散性。 解 由题设知 单调递减且有下界0, an 所以an 有极限。 lim = ( 0). → a l l n n 不妨设 若l = 0， = − − 1 1 ( 1) n n n 则由莱布尼兹判别准则，交错级数 a 收 敛 lim = 0 → a l n 与题设矛盾，故 n a a l n n n n n n + = + = → + → 1 1 1 1 lim 1 1 由根值判别法，有故lim 1 故： 收敛。 = 1 1+ 1 n n an
例4判别级数y(-1)”、m 的收敛性 1=2 n- 解( (1+x) u n+19 x 又Himu=mmn=0.原级数收敛 n→0 n→00 n
例 4 判别级数 = − − 2 1 ( 1) n n n n的收敛性. 解 2 2 ( 1) (1 ) ) 1 ( − − + = − x x x x x 0 (x 2) , 1 故函数 单调递减 x − x , un un+1 1 lim lim − = → → n n u n n n 又 = 0. 原级数收敛
