12.2以2L 偶函数与奇函数的傅立叶级数
12.2 以2L为周期的傅氏级数 一、以2L为周期的傅立叶级数 二 、偶函数与奇函数的傅立叶级数
本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶 级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级 数展开式 以2L为周期的傅氏级数 设∫是以2l为周期的函数,通过变量置换 lt 或 可以把∫变换成以2m为周期的t的函数F()=(z
一、以2L为周期的傅氏级数 本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶 级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级 数展开式． 设 f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换 lt t x l x = 或 = 可以把 f 变换成以 2π为周期的 t 的函数 F(t)= lt
若f在[上可积,则F在[,m]上也 可积,这时函数F的傅里叶级数展开式是: F(t) 2 +∑( a cos nt+bsmm)(1) 其中1F( s ntat n=0 丌. F(tsin ndt, n=0, 1, 2 因为/,所以F()=) =f(x)
若 f 在 −l l, 上可积，则 F 在[-π，π]上也 可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是： ( cos sin ) 2 ( ) ~ 1 0 = + + n an nt b n nt a F t (1) 其中 − = = ( ) cos , 0,1,2, 1 a n F t ntdt n − = = ( )sin , 0,1,2, 1 b n F t ntdt n 因为 lx t = ，所以 ( ) f ( x ) lt F t f = = . (2)
于是由(1)与(2)式分别得 nTO f()F(0)o+2(a, cos+b,sin) (3) nZ X)COS ax,n=0.1.2 (4) n7 bn= f(x)sin dx,n=0,1,2 这里(4)式是以2为周期的函数f的傅里叶系数, (3)式是f的傅里叶级数
于是由(1)与(2)式分别得 ( ) ( cos sin ) 2 ~ ( ) ~ 1 0 = + + n n n l n x b l n x a a f x F t (3) − = = l l n dx n l n x a f (x) cos , 0,1,2, − = = l l n dx n l n x b f (x)sin , 0,1,2, (4) 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数， (3)式是 f 的傅里叶级数
若函数/在[1上按段光滑,则同样可 由收敛定理知道 f(x+0)+f(x-0)=2+200+x+bm、m 2 2 定理设周期为的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 f(r) ∑ nzm nzAc ×c (a, cos+b, sin)
若函 数 f 在−l l, 上按段光滑， 则同样可 由收敛定理知道 cos sin . (5) 2 2 ( 0) ( 0) 1 0 = = + + + + − n n n l n x b l n x a f x f x a 定理的条件则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 定理 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n = = + +
其中系数an,b 为 n nTcx 1-Z1 f(x)cos",dx,(n=0,1,2,…) nTc b=,l f(x)sin dx, (n=1, 2, .) (1)如果/(x)为奇函数则有 f(x)=∑ b. sin", 其中系数b为b nTx f( r)sin 0 tx,(n=12,)
其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 = = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n 其中系数 为 = (n = 1,2, )
(2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=+∑ nTr a. cos 2 其中系数a为an1b() cos -dx (n=0,1,2,…) 证明令x=-≤x≤1→-m≤z≤元 设f(x)=f(-)=F(z),F(z)以2π为周期 T F(z)=0+2(a, cos nz+bm sin nz ), 2
(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0 = = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z 令 = − l x l − z , ( ) ( ) F(z), lz f x f = 设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n + =
其中 F()cos nzda T-兀 F(sin nzda 兀·兀 T F(=f(r) nTt nTt f(x)=0+∑(anc0s l x+b, sinx) 2 其中an=,f( nT x)cos xdc, nTC b f(x)sin xd
( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z = =
例1设f(x)是周期为4的周期函数,它在2,2) 上的表达式为f(x) 「0-2≤x<0 将其展 k0≤x<2 成傅氏级数 解=2,满足狄氏充分条件 1c2 odx+kdx=k 2J-2 2
k − 2 x y − 4 0 2 4 例 1 设 f (x)是周期为 4 的周期函数,它在[−2,2) 上的表达式为 − = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x , 将其展 成傅氏级数. 解 l = 2, 满足狄氏充分条件. = + − 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx = k
2 k·cos=xb=0,(n=1,2,) 2 n7 k k. sin-xdx (1-cos n) 2 2 n7 2k 当n=1,3,5 nc 0当n=2,4,6,… k 2k 13元v 5汇v f(x)= +(sin+sin+=sin-+. 2元 23 25 (-∞<x<+∞;x≠0,+2,±4,…)
2 0 2 cos 2 1 xdx n k = 0, = 2 0 2 sin 2 1 xdx n bn k (1− cos ) = n n k , 0 2,4,6, 1,3,5, 2 = = = n n n k 当 当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( ) + + + = + k k x x x f x (− x +; x 0,2,4, ) an = (n = 1,2, )