西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第八章 定积分的应用 8.3平面曲线的弧长

)数学分析 §8.3平面曲线的弧长 平面曲线弧长的概念 、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 河西学院数学系分析数学教研室

一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 §8.3平面曲线的弧长 三、参数方程情形 四、极坐标情形

83求平面曲线的弧长 、平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两 个端点,在弧上插入分点 M B=M A=M.M 19 M MM B A=M 19 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑|M1M1的极限存在,则称此极限为 曲线弧AB的弧长

o x y A = M0 M1 B = Mn M2 设 Mn−1 A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1   并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1  1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念 8.3 求平面曲线的弧长

、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x) (a≤x≤b),其中f(x) 在[a,b上有一阶连续导数 取积分变量为x,在a,b dy 上任取小区间[x,x+dxl, xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长√(dx)2+(d小y)2=1+y2 弧长元素=1+y2弧长s=1+yb

设曲线弧为y = f (x) (a  x  b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长  dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+  ds y dx 2 = 1+  1 . 2 s y dx b a = +  二、直角坐标情形 弧长元素 弧长

例1计算曲线y=2x上相应于x从到b的一段 3 弧的长度 解y=x ∴ds=1+(x2)2ax=√1+xx, 所求弧长为 =1+xk=2(+b)-(+ 3

例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于x从a到b的一段 弧的长度. , 2 1  y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1  = + = 1+ xdx, s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b 所求弧长为 解

例2计算曲线y=“ nisin od的弧长(0≤x≤m) y=n sin sIn n n n +y d x 1+sindh x=nt fT +sint·ndt 0 2 =n SIn +I cOS 2 2/+2sin cost 22 nI sin-+cos- ldt =4n 0 2 2

例 2 计算曲线y n  d n x  = 0 sin 的弧长(0  x  n). 解 n n x y n 1  = sin  sin , n x = s y dx b a = +  2 1 dx n n x   = + 0 1 sin x = nt + t  ndt   0 1 sin dt t t t t n   +       +      = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n        = + 0 2 cos 2 sin = 4n

、参数方程情形 x=(t) 1y=v() ,(a≤t≤B) 其中q(t),y(t)在a,B上具有连续导数 d=(c)2+(y)2=lg2()+y2(o)(d)2 =√q2()+y"(t)dt 弧长层q"2(t)+y"2(t)d

曲线弧为 , ( ) ( )    = = y t x t   (  t   ) 其中(t), (t)在[,  ]上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 =  + ( ) ( ) . 2 2 s t t dt  =  +      三、参数方程情形 弧长

例3求星形线x3+y3=a3(>0)的全长 x=acos t 星形线的参数方程为 (0≤t≤2m) J=asin°t 根据对称性s=4s 第一象限部分的弧长 4[2V()+()dt =4 sint cos tdt 6a

例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0)的全长. 解    = = y a t x a t 3 3 sin cos (0  t  2) 4 1 s = s (x ) ( y ) dt   =  +  2 0 2 2 4 a t tdt   = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 根据对称性 第一象限部分的弧长 星形线的参数方程为

例4求曲线y=sinx在[0,]上对应弧长。 2 解 无示 y =cosx ds=√1+cos2xbx =2+s2xs令1+cosx=112 14-2t2-4 dt=2 2-t2at-4 2 1+2丌

4. y sin x 2  例 求曲线 = 在[0, ]上对应弧长。 解: 2 cos 1 cos y x ds xdx  =  = + 2 1 2 2 2 0 2 2 2 1 cos 1 cos 2 t S xdxS x t dt t  = + + = − −   令 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 2 2 4 2 2 t dt t dt dt t t − − = = − − − −    = +1 2

例5证明正弦线y= asin(0≤x≤2)的弧长 x= cos t 等于椭圆 (0≤t≤2m)的周长 y=√1+a2sint 设正弦线的弧长等于1 T 2丌 SI √1+y2dx=[√1+a2cos2xdc 0 0 2 +a cos xd 设椭圆的周长为S2

例 5 证明正弦线 y = asin x (0  x  2)的弧长 等于椭圆   = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0  t  2)的周长. 证 设正弦线的弧长等于 1 s s y dx   = +  2 0 2 1 1 a xdx   = + 2 0 2 2 1 cos 设椭圆的周长为 2 s 2 1 cos , 0 2 2 a xdx   = +

2兀 o v(r+(y'i as (sint)+(+a? Xcos t)'dt T =2|√1+a2cos2tdt 2√1+a2cos2xdx=s1 0 故原结论成立

( ) ( ) , 2 0 2 2 2 s x y dt   =  +  根据椭圆的对称性知 s ( t) ( a )( t) dt   = + + 0 2 2 2 2 2 sin 1 cos a xdx   = + 0 2 2 2 1 cos , 1 = s a tdt   = + 0 2 2 2 1 cos 故原结论成立