极限运算法则 本节讨论极限的求法。利用极限的定义,从变 量的变化趋势来观察函数的极限,对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。 、无穷小 在实际应用中,经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义,而且更具有 理论价值,值得我们单独给出定义
极限运算法则 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。 一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义
1定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小) 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)0)时为无穷小 记作mimf(x)=0(或lim∫(x)=0 例如, lim sinx=0,∴函数snx是当x→Q时的无穷小 x→>0
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正数 ( 或正数 X ), 使得对于适合不等式 − 0 x x0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) , 那末 称函数 f (x)当x → x0 (或x → )时为无穷小, 记 作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 或 例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小
lim -=0 函数是当x→∞时的无穷小 ∵∴Im (-1)=0,:数列 (-1) 是当n→∞o时的无穷小 注意 1称函数为无穷小,必须指明自变量的 变化过程; 2无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3零是可以作为无穷小的唯一的数
0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数
2无穷小与函数极限的关系: 定理1limf(x)=A分f(x)=A+a(x) x→>x0 其中(x)是当x→x0时的无穷小 证必要性设lmf(x)=A,令a(x)=f(x)-A, x→x 则有ima(x)=0,∴f(x)=A+a(x) x→>x0 充分性设∫(x)=A+a(x), 其中a(x)是当x→x时的无穷小, 则im∫(x)=im(A+a(x)=A+lima(x)=A x→x0
2.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小. 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + → = A
意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题无穷 小); 2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式 ∫(x)≈A,误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和 仍是无穷小 证设α及β是当x→>∞时的两个无穷小 VE>0,N1>0,N2>0,使得
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x 误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,N1 0, N2 0,使得
当x>N时恒有aN2时恒有N时,恒有 88 ±β≤+β0(x→>0) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如,n→∞时,是无穷小, 但n个之和为不是无穷小
; 2 1 当 x N 时恒有 ; 2 2 当 x N 时恒有 max{ , }, 取 N = N1 N2 当 x N时,恒有 + 2 2 + = , → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证设函数u在U(x0,81内有界, 则丑M>0,81>0,使得当0x时的无穷小, ve>0,382>0,使得当0<x-x0<82时 恒有a<M
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x − 恒 有 使得当 时
取8=min{81,82},则当0x时,·a为无穷小 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如,当x→0时,xsin-,x2 arctan都是无穷小
min{ , }, 1 2 取 = 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么 小),总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,所对应的函数 值∫(x)都满足不等式f(x)>M 则称函数∫(x)当x→x0(或x-0)时为无穷小 记作limf(x)=∞(或lm∫(x)=∞) x→X
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定 义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么 小),总存在正数(或正数X ),使得对于适合不等式 − 0 0 x x (或 x X )的一切x ,所对应的函数 值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M , 则称函数 f ( x)当 0 x → x (或x → )时为无穷小, 记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 或
特殊情形:正无穷大,负无穷大 imf(x)=+∞(或lim∫(x)=-0) (x→>0) (x→>∞) 注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆; 2切勿将lmf(x)=0∞认为极限存在 x→x 3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = + = − → → → → f x f x x x x x x x 或 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2. lim ( ) . 0 切勿将 = 认为极限存在 → f x x x 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大