于dim(U)=dim(V)从而E12…En也为V的一个基,则:对于x∈V可 以表示为x=k1f1+k2E2+…+k,cr,显然,x∈U,故vU,而由 已知知UcV,有U= 4.设V是m维线性空间V的一个子空间,a1,…a是V的一个基.试 证:V中存在元素a1,…an,使a1,a2,…a,an1,…an成为Vn的一个 基 证明设r<n,则在V中必存在一向量angV,它不能被a1,a2…an 线性表示,将a添加进来,则a1,a2, 是线性无关的.若 r+1=n,则命题得证,否则存在an2gL(a1,a2,…,an)则 a1,a2,…,an+2线性无关,依此类推,可找到n个线性无关的向量 a1,a2,…,an,它们是Vn的一个基 5.在R中求向量a=(3,7,1)在基a1=(1,3,5),a2=(6,3,2)y, a3=(3,1,0)下的坐标 解E1=(1,0,0),62=(0,0),63=(0,0,1) 63 (a1,a2,a3)=(E1,E,E)AA=331 52 26 坐标变换公式: 5-158 3 928 26 3 故所求为x2|=5-1587=-82 3(-928-151)(154丿 所求坐标为(33-82,154 6.在R3取两个基 ax1=(1,2,1),a2=(2,3,3),a3=(3,7,1) B1=(3,1,4),B2=(5,),B3=(1,1,-6) 试求坐标变换公式 解设E1=(1,0,0),2=(,1,0),63=(0,0,1), (a,a2,a)=(6,6,3)A,(升,B2,B3)=(B1,B,63)A,2 于 dim(U) = dim(V) 从而 r    1 2 也为 V 的一个基，则：对于 x V 可 以表示为 x k k kr r =  +  ++  1 1 2 2 ．显然， x U ，故 V  U ，而由 已知知 U  V ，有 U = V ． 4．设 Vr 是 n 维线性空间 Vn 的一个子空间， a ar , 1 是 Vr 的一个基．试 证： Vn 中存在元素 ar an , +1 ，使 a a ar , , 1 2 , ar an ,, +1 成为 Vn 的一个 基． 证明 设 r  n ,则在 Vn 中必存在一向量 ar+1 Vr ，它不能被 a a ar , , 1 2 线性表示，将 ar+1 添加进来，则 1 2 3 1 , , , a a a ar+ 是线性无关的．若 r + 1 = n ，则命题得证，否则存在 ( , , , ) ar+2  L a1 a2  ar+1 则 1 2 2 , , , a a  ar+ 线性无关，依此类推，可找到 n 个线性无关的向量 a a an , , , 1 2  ，它们是 Vn 的一个基． 5．在 3 R 中求向量 T  = (3,7,1) 在基 T (1,3,5) 1 = , T (6,3,2)  2 = ， T (3,1,0)  3 = 下的坐标． 解 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)  1 =  2 =  3 = A T T T T T T ( , , ) ( , , ) 1 2 3 =  1  2  3           = 5 2 0 3 3 1 1 6 3 A 坐标变换公式：                     − − − − − =           =           − 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 9 28 15 5 15 8 2 6 3 ' ' ' x x x x x x A x x x 故所求为           = −                     − − − − − =           154 82 33 1 7 3 9 28 15 5 15 8 2 6 3 ' ' ' 3 2 1 x x x ． 所求坐标为 (33,−82,154)． 6．在 3 R 取两个基 T (1,2,1) 1 = , T (2,3,3)  2 = , T (3,7,1)  3 = T T T (3,1,4) , (5,2,1) , (1,1, 6) 1 =  2 =  3 = − 试求坐标变换公式． 解 设 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)  1 =  2 =  3 = ， A T T T T T T ( , , ) ( , , ) 1 2 3 =  1  2  3 ， A T T T T T T ( , , ) ( , , )  1  2  3 =  1  2  3 ．