《线性代数》课程教学资源（习题全解）第六章 线性空间与线性变换

第六章线性空间与线性变换 1.验证 (1)2阶矩阵的全体S1; (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2; (3)2阶对称矩阵的全体S3 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基 解(1)设AB分别为二阶矩阵,则A,B∈S1显然 (4+B)∈S1,kA∈S,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间 01 00 61=00 是S1的一个基 00 63=(10 d e (2)设A= B A,B∈S2 C (a+d) c+b ka kb A+B= ∈S 4 ∈S c+aa+d kc ka 10 B2= 是一个基 00 10 (3)设A,B∈S3,则A=A,B=B (A+B)=A+B7=A+B,从而(A+B)∈S3 (k4)=kAT=kA故kA∈S3,所以对于加法和乘数运算构成线性空 间 (0-09 是S3的一个基 2.验证:与向量(0,0,1)不平行的全体3维数组向量,对于数组向量 的 加法和乘数运算不构成线性空间 解设V=传与向量00)不平行的全体三维向量,设r=(1,0), r2=(-1,0,1),则r1,2∈V.但r1+2=(0,0,1)gV即V不是线性空间 3.设U是线性空间v的一个子空间,试证:若U与V的维数相等,则 U=v 证明设61E2…E,为U的一组基,它可扩充为整个空间v的一个基, 由

1 第六章 线性空间与线性变换 1．验证: (1)2 阶矩阵的全体 S1 ; (2)主对角线上的元素之和等于 0 的 2 阶矩阵的全体 S2 ; (3)2 阶对称矩阵的全体 S3 . 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基． 解 （1）设 A,B 分别为二阶矩阵，则 1 A,B  S 显然 1 1 (A+ B) S ,kA S ，从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间．         = 0 0 1 0 1          = 0 0 0 1 2          = 1 0 0 0 3          = 0 1 0 0 4  是 S1 的一个基. (2) 设         − = c a a b A ，         − = f d d e B 2 A,B  S 2 ( ) S c a a d a d c b A B         + + − + + + = ， S2 kc ka ka kb kA         − = .         − = 0 1 1 0 1          = 0 0 0 1 2          = 1 0 0 0 3  是一个基． (3)设 3 A,B  S ，则 A A B B T T = , = A B A B A B T T T ( + ) = + = + ，从而 3 (A+ B) S kA k A kA T T ( ) = = ,故 kA S3 ，所以对于加法和乘数运算构成线性空 间.         = 0 0 1 0 1          = 1 0 0 1 2          = 0 1 0 0 3  是 S3 的一个基. 2．验证：与向量 T (0,0,1) 不平行的全体 3 维数组向量，对于数组向量 的 加法和乘数运算不构成线性空间． 解 设 V = 与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量 ，设 (1,1,0) r1 = , ( 1,0,1) r2 = − ，则 r1 ,r2 V ．但 r1 + r2 = (0,0,1)V 即 V 不是线性空间. 3．设 U 是线性空间 V 的一个子空间，试证：若 U 与 V 的维数相等，则 U = V . 证明 设 r    1 2 为 U 的一组基，它可扩充为整个空间 V 的一个基， 由

于dim(U)=dim(V)从而E12…En也为V的一个基,则:对于x∈V可 以表示为x=k1f1+k2E2+…+k,cr,显然,x∈U,故vU,而由 已知知UcV,有U= 4.设V是m维线性空间V的一个子空间,a1,…a是V的一个基.试 证:V中存在元素a1,…an,使a1,a2,…a,an1,…an成为Vn的一个 基 证明设r<n,则在V中必存在一向量angV,它不能被a1,a2…an 线性表示,将a添加进来,则a1,a2, 是线性无关的.若 r+1=n,则命题得证,否则存在an2gL(a1,a2,…,an)则 a1,a2,…,an+2线性无关,依此类推,可找到n个线性无关的向量 a1,a2,…,an,它们是Vn的一个基 5.在R中求向量a=(3,7,1)在基a1=(1,3,5),a2=(6,3,2)y, a3=(3,1,0)下的坐标 解E1=(1,0,0),62=(0,0),63=(0,0,1) 63 (a1,a2,a3)=(E1,E,E)AA=331 52 26 坐标变换公式: 5-158 3 928 26 3 故所求为x2|=5-1587=-82 3(-928-151)(154丿 所求坐标为(33-82,154 6.在R3取两个基 ax1=(1,2,1),a2=(2,3,3),a3=(3,7,1) B1=(3,1,4),B2=(5,),B3=(1,1,-6) 试求坐标变换公式 解设E1=(1,0,0),2=(,1,0),63=(0,0,1), (a,a2,a)=(6,6,3)A,(升,B2,B3)=(B1,B,63)A

2 于 dim(U) = dim(V) 从而 r    1 2 也为 V 的一个基，则：对于 x V 可 以表示为 x k k kr r =  +  ++  1 1 2 2 ．显然， x U ，故 V  U ，而由 已知知 U  V ，有 U = V ． 4．设 Vr 是 n 维线性空间 Vn 的一个子空间， a ar , 1 是 Vr 的一个基．试 证： Vn 中存在元素 ar an , +1 ，使 a a ar , , 1 2 , ar an ,, +1 成为 Vn 的一个 基． 证明 设 r  n ,则在 Vn 中必存在一向量 ar+1 Vr ，它不能被 a a ar , , 1 2 线性表示，将 ar+1 添加进来，则 1 2 3 1 , , , a a a ar+ 是线性无关的．若 r + 1 = n ，则命题得证，否则存在 ( , , , ) ar+2  L a1 a2  ar+1 则 1 2 2 , , , a a  ar+ 线性无关，依此类推，可找到 n 个线性无关的向量 a a an , , , 1 2  ，它们是 Vn 的一个基． 5．在 3 R 中求向量 T  = (3,7,1) 在基 T (1,3,5) 1 = , T (6,3,2)  2 = ， T (3,1,0)  3 = 下的坐标． 解 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)  1 =  2 =  3 = A T T T T T T ( , , ) ( , , ) 1 2 3 =  1  2  3           = 5 2 0 3 3 1 1 6 3 A 坐标变换公式：                     − − − − − =           =           − 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 9 28 15 5 15 8 2 6 3 ' ' ' x x x x x x A x x x 故所求为           = −                     − − − − − =           154 82 33 1 7 3 9 28 15 5 15 8 2 6 3 ' ' ' 3 2 1 x x x ． 所求坐标为 (33,−82,154)． 6．在 3 R 取两个基 T (1,2,1) 1 = , T (2,3,3)  2 = , T (3,7,1)  3 = T T T (3,1,4) , (5,2,1) , (1,1, 6) 1 =  2 =  3 = − 试求坐标变换公式． 解 设 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)  1 =  2 =  3 = ， A T T T T T T ( , , ) ( , , ) 1 2 3 =  1  2  3 ， A T T T T T T ( , , ) ( , , )  1  2  3 =  1  2  3 ．

其中,A=237,B=121 131 41-6 坐标变换公式x2|=B4x2, 现求BA 121237 0-1-2-5-7-18 41-6131)(0-7-10-7-9-27 1212 121237 0125718 99 00-4-28-40-99 001710 71 181 120 7 1001319 4 63 010-9-13 010-9-13 001710 001710 131 19181 ∴B-A=|-9-13 63 2 710 所以坐标变换公式为 81 1319 4 63 -9-13 2 99x 710 7.在R中取两个基

3 其中，           = 1 3 1 2 3 7 1 2 1 A ，           − = 4 1 6 1 2 1 3 5 1 B 坐标变换公式           =              − 3 2 1 1 3 2 1 x x x B A x x x ， 现求 B A −1 ~ 4 1 6 1 3 1 1 2 1 2 3 7 3 5 1 1 2 3           −           − − − − − − − − − − 0 7 10 7 9 27 0 1 2 5 7 18 1 2 1 2 3 7           0 0 − 4 − 28 − 40 − 99 0 1 2 5 7 18 1 2 1 2 3 7 ~             4 99 0 0 1 7 10 0 1 2 5 7 18 1 2 1 2 3 7 ~                 − − − − − − 4 99 0 0 1 7 10 2 63 0 1 0 9 13 4 71 1 2 0 5 7 ~                 − − − 4 99 0 0 1 7 10 2 63 0 1 0 9 13 4 181 1 0 0 13 19 ~                  = − − − − 4 99 7 10 2 63 9 13 4 181 13 19 1 B A ． 所以坐标变换公式为                           = − − −              3 2 1 3 2 1 4 99 7 10 2 63 9 13 4 181 13 19 x x x x x x ． 7．在 4 R 中取两个基

e1=(1,0,0, (2,1,-1,) e2=(0,0,0)7 a2=(0,3,,0), (0,0,1,0) (5,3,2,1) e;=(0,0,0,)y,a4=(6,6,3 (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; (2)求向量(x1,x2,x3,x)在后一个基下的坐标 (3)求在两个基下有相同坐标的向量 E1 310 解(1)由题意知 5321 6613 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为 2056 6613 (2)设向量a在后一个基下的坐标为v1,y2,y3,y)则有 x1E1+…+x4E4=W1+……+y4C4 1000Yx 21-11Yy 0100 即 V2 0010x 5321 J3 000 6613 J 21-1 故 J 0310|x 5321 6613)(x 129-27-33 112-9-23‖x 7900-18 7-3926 (3)由(2)知

4        = = = = (0,0,0,1) , (0,0,1,0) , (0,1,0,0) , (1,0,0,0) , 4 3 2 1 T T T T e e e e        = = = = − (6,6,1,3) . (5,3,2,1) , (0,3,1,0) , (2,1, 1,1) , 4 3 2 1 T T T T     (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; (2) 求向量 T (x , x , x , x ) 1 2 3 4 在后一个基下的坐标; (3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 解 (1) 由题意知               =                             − =               4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 6 6 1 3 5 3 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1             A T 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为               − =               − = 1 0 1 3 1 1 2 1 1 3 3 6 2 0 5 6 6 6 1 3 5 3 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 T A (2) 设向量  在后一个基下的坐标为 ( , , , ) 1 2 3 4 y y y y 则有 1 1 4 4 11 44 x  ++ x  = y ++ y 即                             − =                             4 3 2 1 4 3 2 1 6 6 1 3 5 3 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 y y y y x x x x ， 故                             − =               − 4 3 2 1 1 4 3 2 1 6 6 1 3 5 3 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 x x x x y y y y                             − − − − − − − = 4 3 2 1 7 3 9 26 9 0 0 18 1 12 9 23 12 9 27 33 27 1 x x x x ． (3)由(2)知

129-27-33》x1(x1 112-9-23x2 27900 18‖x3 7-39 26人x4 解方程组得 x3-41(k为常数) 8.说明xOy平面上变换 的几何意义,其中 (1)4=/~10 ;(2)A≈(00 (3)4≤/0 01 (4)A 10 解(1) 01八y 即与原向量关于y轴对称 00x)(0 J 即将原向量投影到y轴上 01 (3) 10 即与原向量关于直线y=x对称. 01 J 即将原向量顺时针旋转z 9.n阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成一个m(n+维线 2 性 空间给出n阶矩阵P,以A表示V中的任一元素,变换

5               =                             − − − − − − − = 4 3 2 1 4 3 2 1 7 3 9 26 9 0 0 18 1 12 9 23 12 9 27 33 27 1 x x x x x x x x ， 解方程组得               =               1 1 1 1 4 3 2 1 k x x x x ( k 为常数) 8．说明 xOy 平面上变换         =        y x A y x T 的几何意义，其中 (1)         − = 0 1 1 0 A ; (2)         = 0 1 0 0 A ; (3)         = 1 0 0 1 A ; (4)         − = 1 0 0 1 A . 解 (1)         − =                − =        y x y x y x T 0 1 1 0 即与原向量关于 y 轴对称 (2)         =                =        y y x y x T 0 0 1 0 0 即将原向量投影到 y 轴上． (3)         =                =        x y y x y x T 1 0 0 1 即与原向量关于直线 y = x 对称． (4)         − =                − =        x y y x y x T 1 0 0 1 即将原向量顺时针旋转 2  ． 9．n 阶对称矩阵的全体 V 对于矩阵的线性运算构成一个 2 n(n + 1) 维线 性 空间.给出 n 阶矩阵 P ，以 A 表示 V 中的任一元素，变换

T(A=P AP 称为合同变换试证合同变换T是V中的线性变换 证明设A,B∈V,则A=A,BI=B T(A+B)=P(A+B)P= P(A+B)P (A+B)PI P=(AP+BP)P (P A+P B)P=P AP+P BP=T(A)+T(B) T(kA)=P(kA)P=k P AP=kT(A) 从而,合同变换T是V中的线性变换 10.函数集合 V3=a=(a2x+,x+aoDela2,1,E R 对于函数的线性运算构成3维线性空间,在V3中取一个基 求微分运算D在这个基下的矩阵 解设 B= D(a=2xe+xe=2a2+a B2=D(a2)=e+ P,=D(a3=e=a3 易知:B1,B2,B3线性无关,故为一个基 B1(a1+2 由B2|=a2+a3 B3 120 知P=01 001 00 100 故p=210即D在基下的矩阵为210 01 (01 11.2阶对称矩阵的全体 R) 对于矩阵的线性运算构成3维线性空间在V中取一个基

6 T A P AP T ( ) = 称为合同变换.试证合同变换 T 是 V 中的线性变换． 证明 设 A,BV ，则 A A B B T T = , = T A B P A B P T ( + ) = ( + ) P A B P T T = ( + ) A B P P T = [( + ) ] AP BP P T = ( + ) P A P B P T T = ( + ) P AP P BP T T = + =T(A) + T(B) T(kA) P (kA)P k P AP kT(A) T T = = = 从而，合同变换 T 是 V 中的线性变换． 10．函数集合 { ( ) | , , } 1 0 2 1 0 2 V3 a2 x a x a e a a a R x =  = + +  对于函数的线性运算构成 3 维线性空间，在 V3 中取一个基 x x e 2 1 = ， x = xe  2 ， x = e  3 求微分运算 D 在这个基下的矩阵. 解 设 2 1 2 1 = (1 ) = 2 + = 2 + x x D xe x e 2 2 3 2  = ( ) = + = + x x D e xe 1 3 3  = ( ) = = x D e 易知： 1 2 3  ,  ,  线性无关，故为一个基. 由           =           + + =           3 2 1 3 2 3 1 2 3 2 1 2            P T 知           = 0 0 1 0 1 1 1 2 0 P T 故           = 0 1 1 2 1 0 1 0 0 p .即 D 在基下的矩阵为           0 1 1 2 1 0 1 0 0 . 11．2 阶对称矩阵的全体 { | , , } 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x R x x x x V A          = = 对于矩阵的线性运算构成 3 维线性空间.在 V3 中取一个基

A 10 A3 01 在V中定义合同变换 T(A)= 11)(0 求T在基A,42,A3下的矩阵 解T(A1)= 0Y/101 11八0001)(11 =A1+A2+A3 10Y01Y11 T(2) A2+243 10Y(0011(00 T(43) A 11八01八0 T(A1)(100A1 故|T(42)=1104 (A3) 100 从而,T在基A1,A,A下的矩阵A=110 12

7         = 0 0 1 0 A1 ，         = 1 0 0 1 A2 ，         = 0 1 0 0 A3 . 在 V3 中定义合同变换                 = 0 1 1 1 1 1 1 0 T(A) A , 求 T 在基 1 2 3 A , A , A 下的矩阵. 解                         = 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 ( ) T A1         = 1 1 1 1 = A1 + A2 + A3                         = 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ( ) T A2         = 1 2 0 1 = A2 + 2A3                         = 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 ( ) T A3 3 0 1 0 0 = A         = 故                     =           3 2 1 3 2 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) A A A T A T A T A T 从而， T 在基 1 2 3 A , A , A 下的矩阵           = 1 2 1 1 1 0 1 0 0 A