《概率论与数理统计》 学习手册 内容提要 ·疑难分析 例题解析 白先春编
《概率论与数理统计》 学习手册 ·内容提要 ·疑难分析 ·例题解析 白先春 编
目录 第一章随机事件及其概率 第二章随机变量及其分布 第三章多维随机变量及其分布 第四章随机变量的数字特征 41 第五章大数定律和中心极限定理 50 第六章数理统计的基本概念. 第七章参数估计 第八章假设检验. 第九章方差分析和回归分析
1 目 录 第一章 随机事件及其概率............................... 2 第二章 随机变量及其分布............................. 15 第三章 多维随机变量及其分布........................ 29 第四章 随机变量的数字特征 .......................... 41 第五章 大数定律和中心极限定理 ..................... 50 第六章 数理统计的基本概念 .......................... 55 第七章 参数估计....................................... 61 第八章 假设检验....................................... 68 第九章 方差分析和回归分析 .......................... 73
第一章随机事件及其概率 内容提要 1、随机试验、样本空间与随机事件 (1)随机试验:具有以下三个特点的试验称为随机试验,记为E 1)试验可在相同的条件下重复进行 2)每次试验的结果具有多种可能性,但试验之前可确知试验的所有可能结 3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现 (2)样本空间:随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间, 记为Ω:试验的每一个可能结果,即Ω中的元素,称为样本点,记为e (3)随机事件:在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件, 简称事件,常用A、B、C等大写字母表示;可表述为样本空间中样本点的某个集 合,分为复合事件和简单事件,还有必然事件(记为Ω2)和不可能事件(记为Φ) 2、事件的关系与运算 (1)包含关系与相等:“事件A发生必导致B发生”,记为AcB或BA A=B分AcB且BcA (2)和事件(并):“事件A与B至少有一个发生”,记为A∪B (3)积事件(交):“事件A与B同时发生”,记为A∩B或AB (4)差事件、对立事件(余事件):“事件A发生而B不发生”,记为A-B 称为A与B的差事件:g-B=B称为B的对立事件;易知:A-B=AB
2 第一章 随机事件及其概率 内 容 提 要 1、随机试验、样本空间与随机事件 （1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为 E. 1）试验可在相同的条件下重复进行； 2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结 果； 3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间， 记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为 e. （3）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件， 简称事件，常用 A、B、C 等大写字母表示；可表述为样本空间中样本点的某个集 合，分为复合事件和简单事件，还有必然事件（记为 ）和不可能事件（记为 ）. 2、事件的关系与运算 （1）包含关系与相等：“事件 A 发生必导致 B 发生”，记为 A B 或 B A ； A = B A B 且 B A. （2）和事件（并）：“事件 A 与 B 至少有一个发生”，记为 A B . （3）积事件（交）：“ 事件 A 与 B 同时发生”，记为 A B 或 AB . （4）差事件、对立事件(余事件)：“事件 A 发生而 B 不发生”，记为 A－B 称为 A 与 B 的差事件； − B = B 称为 B 的对立事件；易知： A − B = AB
(5)互不相容性:AB=φ;A、B互为对立事件台→A∪B=9且 AB=g (6)事件的运算法则:1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA 2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(ABC=A(BC) 3)分配律:(A∪B)C=AC∪BC,(AB)∪C=(A∪CXB∪C); 4)对偶( De Morgan)律:A∪B=AB,AB=A∪B,可推广 U4=∩4,∩4=U4 3、频率与概率 (1)频率的定义:事件A在n次重复试验中出现n,次,则比值称为事 件A在n次重复试验中出现的频率,记为fn(4),即fn(A)= (2)统计概率:当n→∞时,频率∫n(A) →P(A).当n很大时, n P(A)=P≈f(A)称为事件A的统计概率 (3)古典概率:若试验的基本事件数为有限个,且每个事件发生的可能性相 等,则试验对应古典概型(等可能概型),事件A发生的概率为 P4中所含样本点数_k_k(A) Q中样本点总数nn (4)几何概率:若试验基本事件数无限,随机点落在某区域g的概率与区域 g的测度(长度、面积、体积等)成正比,而与其位置及形状无关,则试验对应几何 概型,“在区域Ω中随机地取一点落在区域g中”这一事件A4发生的概率为: P(4)=8的测度
3 （5）互不相容性： AB = ； A、B 互为对立事件 AB = 且 AB = . （6）事件的运算法则：1) 交换律： A B = B A ， AB = BA ； 2) 结合律： A (B C) = (A B) C ，(AB)C = A(BC) ； 3) 分配律： (A B)C = AC BC ，(AB) C = (AC)(B C) ； 4) 对 偶 (De Morgan) 律 ： A B = AB ， AB = A B ，可推广 k k k k k k k Ak = A , A = A . 3、频率与概率 （1）频率的定义：事件 A 在 n 次重复试验中出现 A n 次，则比值 n nA 称为事 件 A 在 n 次重复试验中出现的频率，记为 f (A) n ，即 n n f A A n ( ) = . （2）统计概率：当 n → 时，频率 ( ) P(A) n n f A A n = → .当 n 很大时， P(A) P f (A) = n 称为事件 A 的统计概率. （3）古典概率：若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相 等，则试验对应古典概型（等可能概型），事件 A 发生的概率为： n k A n A k P A ( ) ( ) ＝ ＝ 中样本点总数 中所含样本点数 = . （4）几何概率：若试验基本事件数无限，随机点落在某区域 g 的概率与区域 g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何 概型，“在区域 中随机地取一点落在区域 g 中”这一事件 Ag 发生的概率为： 的测度 的测度 ＝ g P Ag ( )
(5)概率的公理化定义:设(g,F)为可测空间,在事件域F上定义一个实 值函数P(A),A∈F,满足:1)非负性:P(A)≥0,对任意A∈F;2)规范 性:P(2)=1:3)可列可加性:若有一列A∈F,l=12,…,AA=Φ,使 得P(A)=∑P(A),则称P(A),A∈F为σ域F上的概率测度,简称“概 率 4、概率的基本性质 (1)不可能事件概率零:P(Φ)=0 (2)有限可加性:设A1,A2,…,A是n个两两互不相容的事件,即AA= Φ,(i≠j),i,j=12,…n,则有P(A1∪A2u…An)=P(A1)+ P(A2)+…+P(A) (3)单调不减性:若事件B=A,则P(B)≥P(A),且 P(B-A)=P(B)-P(A).(4)互补性:P(A)=1-P(4),且P(A)≤1.(5)加法公 式:对任意两事件A、B,有P(A∪B)=P(A+P(B)-P(AB);此性质可推 广到任意n个事件A1,A2,…An的情形 (6)可分性:对任意两事件A、B,有P(A)=P(AB)+P(AB) 5、条件概率与乘法公式 (1)条件概率:设A、B是9中的两个事件,即A、B∈F,则 P(B/A=P(AB) P(A) 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
4 （5）概率的公理化定义：设( , F )为可测空间，在事件域 F 上定义一个实 值函数 P(A), A F ，满足：1) 非负性： P(A) 0 ，对任意 A F ；2) 规范 性： P() = 1 ；3) 可列可加性：若有一列 A F ,i =1,2, , i i Ai Aj = ，使 得 = = = 1 1 ( ) ( ) j j j P Aj P A ，则称 P(A), A F 为 域 F 上的概率测度，简称“概 率”． 4、概率的基本性质 （1）不可能事件概率零： P() ＝0. （2）有限可加性：设 A A An , , , 1 2 是 n 个两两互不相容的事件，即 Ai Aj ＝ ，（ i j ） ,i, j = 1,2, n ，则有 ( ) P A1 A2 An ＝ ( ) P A1 ＋ ( ) ( ) P A2 ++ P An . （3）单调不减性：若事件 B A，则 P(B) P(A)，且 P(B－A)＝P(B)－P(A).（4）互补性：P( A )＝1－P(A)，且 P(A) 1.（5）加法公 式：对任意两事件 A、B ，有 P(A B) = P(A) + P(B) － P(AB) ；此性质可推 广到任意 n 个事件 A A An , , , 1 2 的情形. （6）可分性：对任意两事件 A、B ，有 P(A) = P(AB) + P(AB) . 5、条件概率与乘法公式 （1）条件概率：设 A、B 是 中的两个事件，即 A、BF ，则 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = 称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率．
(2)乘法公式:设A、BCF,则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 称为事件A、B的概率乘法公式 6、全概率公式与贝叶斯 Bayes)公式 (1)全概率公式:设A1,A2…,An是Ω的一个划分,且P(A1)>0 (=12,…m),则对任何事件B∈F,有P(B)=∑P(A)P(B|A4),称为全概 率公式 (2)贝叶斯( Bayes)公式:设A,A2,…,An是Ω的一个划分,且 P(A1)>0(i=1,2,…,n),则对任何事件B∈F,有 P(A, B) P(A)(B1A,) =1,…,n),称为贝叶斯公式或逆概率公式 ∑PA1)P(B|A1 7、事件的独立性 (1)两事件的独立:设(9,F,P)为一概率空间,事件A、B∈F,且 P(A)>0,若P(B)=P(B|4),则称事件A与B相互独立;等价于: P(AB)=P(AP(B) (2)多个事件的独立:设A1,A2,…,A,是n个事件,如果对任意的 k(1<k≤m),任意的1≤i1<l2<…<k≤n,具有等式 P(An42…A)=P(A1)P(2)…P(A),称n个事件A1,A2,…,A相互独立 8、贝努里( Bernoul l i)概型 (1)只有两个可能结果的试验称为贝努里试验,常记为E.E也叫做“成 功一失败”试验,“成功”的概率常用p=P(A)表示,其中A=“成功
5 （2）乘法公式：设 A、B F ，则 P(AB) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A| B) 称为事件 A、B 的概率乘法公式. 6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 （1）全概率公式：设 A A An , , , 1 2 是 的一个划分，且 P(Ai ) 0， (i = 1,2, ,n) ，则对任何事件 B F ，有 = n i P B P Ai P B Ai 1 ( )＝ ( ) ( | ) ，称为全概 率公式. （2）贝叶斯(Bayes)公式：设 A A An , , , 1 2 是 的一个划分，且 P(Ai ) 0 (i = 1,2, ,n) ，则对任何事件 B F ，有 ,( 1, , ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 1 j n P A P B A P A P B A P A B n i i i j j j = = = ，称为贝叶斯公式或逆概率公式. 7、事件的独立性 （1）两事件的独立：设 (, F, P) 为一概率空间，事件 A、BF ，且 P(A) 0 ，若 P(B) = P(B | A) ，则称事件 A 与 B 相互独立；等价于： P(AB) = P(A)P(B) . （2）多个事件的独立：设 A A An , , , 1 2 是 n 个事件，如果对任意的 k(1 k n) ，任意的 1 i 1 i 2 i k n ，具有等式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k 1 2 k P Ai Ai Ai = P Ai P Ai P Ai ，称 n 个事件 A A An , , , 1 2 相互独立． 8、贝努里(Bernoulli)概型 （1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为 E ． E 也叫做“成 功—失败”试验,“成功”的概率常用 p = P(A) 表示，其中 A ＝“成功
(2)把E重复独立地进行n次,所得的试验称为n重贝努里试验,记为E (3)把E重复独立地进行可列多次,所得的试验称为可列重贝努里试验,记 为E.以上三种贝努里试验统称为贝努里概型 (4)Em中成功k次的概率是:Cp(1-p)k=C6pq”,(0≤k≤n)其 中p+q=1 疑难分析 1、必然事件与不可能事件 必然事件是在一定条件下必然发生的事件,不可能事件指的是在一定条件下 必然不发生的事件.它们都不具有随机性,是确定性的现象,但为研究的方便,把 它们看作特殊的随机事件 2、互逆事件与互斥事件 如果两个事件A与B必有一个事件发生,且至多有一个事件发生,则A、B 为互逆事件;如果两个事件A与B不能同时发生,则A、B为互斥事件.因而 互逆必定互斥,互斥未必互逆,区别两者的关键是:当样本空间只有两个事件时 两事件才可能互逆,而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两 者可以都不发生,而互逆事件必发生一个且只发生一个 3、两事件独立与两事件互斥 两事件A、B独立,则A与B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关, 这时P(AB)=P(A)P(B);而两事件互斥,则其中任一个事件的发生必然导致另 个事件不发生,这两事件的发生是有影响的,A6 这时AB=,P(AB)=0.可以用图形作一直观Ax A 解释.在图1.1左边的正方形中
6 （2）把 E 重复独立地进行 n 次，所得的试验称为 n 重贝努里试验，记为 n E ． （3）把 E 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记 为 E ．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型． （4） n E 中成功 k 次的概率是： C p (1 p) C p q ,(0 k n) k k n k n k k n k n − = − − 其 中 p + q = 1. 疑 难 分 析 1、必然事件与不可能事件 必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下 必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把 它们看作特殊的随机事件. 2、互逆事件与互斥事件 如果两个事件 A 与 B 必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则 A 、B 为互逆事件；如果两个事件 A 与 B 不能同时发生，则 A 、 B 为互斥事件.因而， 互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时， 两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两 者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个. 3、两事件独立与两事件互斥 两事件 A 、B 独立，则 A 与 B 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关， 这时 P(AB) = P(A)P(B) ；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另 一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的， 这时 AB = ,P(AB) = 0 .可以用图形作一直观 解释.在图 1.1 左边的正方形中， 图 1.1 A B AB A B
P(AB)=,P(A)==P(B),表示样本空间中两事件的独立关系,而在右边的 正方形中,P(AB)=0,表示样本空间中两事件的互斥关系 4、条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB) P(AB)是在样本空间Ω内,事件AB的概率,而P(A|B)是在试验E增加 了新条件B发生后的缩减的样本空间gB中计算事件A的概率.虽然A、B都发 生,但两者是不同的,一般说来,当A、B同时发生时,常用P(AB),而在有 包含关系或明确的主从关系时,用P(AB)如袋中有9个白球1个红球,作不放 回抽样,每次任取一球,取2次,求:(1)第二次才取到白球的概率;(2)第 次取到的是白球的条件下,第二次取到白球的概率.问题(1)求的就是一个积事 件概率的问题,而问题(2)求的就是一个条件概率的问题 5、全概率公式与贝叶斯( Bayes)公式 当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果,而该结果又不能简单地看作 这诸多事件之和时,可考虑用全概率公式,在对样本空间进行划分时,一定要注 意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知,追查是何种原因(情况、 条件)下引发的概率 例题解析 【例1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点 (1)掷一棵骰子,出现奇数点 (2)投掷一枚均匀硬币两次 1)第一次出现正面:2)两次出现同一面:3)至少有一次出现正面
7 ( ) 2 1 , ( ) 4 1 P(AB) = P A = = P B ，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的 正方形中， P(AB) = 0 ，表示样本空间中两事件的互斥关系. 4、条件概率 P(A| B) 与积事件概率 P(AB) P(AB) 是在样本空间 内，事件 AB 的概率，而 P(A| B) 是在试验 E 增加 了新条件 B 发生后的缩减的样本空间 B 中计算事件 A 的概率.虽然 A 、 B 都发 生，但两者是不同的，一般说来，当 A 、 B 同时发生时，常用 P(AB) ，而在有 包含关系或明确的主从关系时，用 P(A| B) .如袋中有 9 个白球 1 个红球，作不放 回抽样，每次任取一球，取 2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一 次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事 件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作 这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注 意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、 条件）下引发的概率. 例 题 解 析 【例 1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点： （1）掷一棵骰子，出现奇数点. （2）投掷一枚均匀硬币两次： 1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面
(3)在1,2,3,4四个数中可重复地抽取两个数,其中一个数是另一个数 的两倍 (4)将a,b两只球随机地放到3个盒子中去,第一个盒子中至少有一个球 分析:可对照集合的概念来理解样本空间和样本点:样本空间可指全集,样 本点是元素,事件则是包含在全集中的子集 解:(1)掷一棵骰子,有六种可能结果,如果用“1”表示“出现1点”这个 样本点,其余类似.则样本空间为:g={1,2,3,4,5,6},出现奇数点的事件 (2)投掷一枚均匀硬币两次,其结果有四种可能,若用(正,反)表示“第 次出现正面,第二次出现反面”这一样本点,其余类似.则样本空间为:g={(正, 正),(正,反),(反,正),(反,反)},用A、B、C分别表示上述事件1)、2) 3),则事件A={(正,正),(正,反)}:事件B={(正,正),(反,反)}:事 件C={(正,正),(正,反),(反,正)} (3)在1,2,3,4四个数中可重复地抽取两个数,共有42=16种可 能,若用(i,j)表示“第一次取数i,第二次取数j”这一样本点,则样本空间为: 2={(i,j)}(i,j=1,2,34);其中一个数是另一个数的两倍的事件为:{(1,2) (2,1),(2,4),(4,2)} (4)三个盒子分别记为甲、乙、丙,将a,b两只球随机地放到3个盒子中去共 有九种结果.若用(甲、乙)表示“a球放入甲盒,b球放入乙盒”这一样本点 其余类似则样本空间为:g={(甲,甲),(甲,乙),(甲,丙),(乙, 乙),(乙,甲),(乙,丙),(丙,甲),(丙,乙),(丙,丙)}:第 个盒子中至少有一个球的事件为:{(甲,甲),(甲,乙),(甲,丙),(乙, 甲),(丙,甲)}
8 （3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数 的两倍. （4）将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球. 分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样 本点是元素，事件则是包含在全集中的子集. 解:(1) 掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现 1 点”这个 样本点，其余类似.则样本空间为： ={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件 为：{1，3，5}. （2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第 一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为： ={（正, 正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）}，用 A、B、C 分别表示上述事件 1）、2）、 3），则事件 A ={（正,正）,（正,反）}；事件 B ={（正,正），（反,反）}；事 件 C ={（正,正）,（正,反）,（反,正）}. （3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，共有 4 16 2 = 种可 能，若用 (i, j) 表示“第一次取数 i ，第二次取数 j ”这一样本点，则样本空间为： ={ (i, j) } (i, j =1,2,3,4) ；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{（1,2）, （2,1）,（2,4）,（4,2）}. (4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去共 有九种结果.若用（甲、乙）表示“a 球放入甲盒，b 球放入乙盒”这一样本点， 其余类似.则样本空间为： ={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）}；第一 个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 甲），（丙，甲）}
【例2】设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: (1)仅A发生 (2)A与C都发生,而B不发生 (3)所有三个事件都不发生:(4)至少有一个事件发生; (5)至多有两个事件发生;(6)至少有两个事件发生 (7)恰有两个事件发生:(8)恰有一个事件发生 分析:利用事件的运算关系及性质来描述事件 解:(1)ABC:(2)ABC:(3)ABC或AB∪C:(4)AUB∪C 或ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ ABCUABC∪ABC;(5)A∪B∪C或 ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC (6)AB∪AC∪BC或ABC∪ABC∪ABC∪ABC (7)ABC∪ABC∪ABC:(8)ABC∪ABC∪ABC 【例3】把n个不同的球随机地放入N(N≥m)个盒子中,求下列事件的概率 (1)某指定的n个盒子中各有一个球 (2)任意n个盒子中各有一个球 (3)指定的某个盒子中恰有m(m<n)个球 分析:这是古典概率的一个典型问题,许多古典概率的计算问题都可归结为 这一类型.每个球都有N种放法,n个球共有N"种不同的放法.“某指定的n个 盒子中各有一个球”相当于n个球在n个盒子中的全排列;与(1)相比,(2) 相当于先在N个盒子中选n个盒子,再放球:(3)相当于先从n个球中取m个 放入某指定的盒中,再把剩下的n-m个球放入N-1个盒中 解:样本空间中所含的样本点数为N
9 【例 2】设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： （1）仅 A 发生； （2） A 与 C 都发生，而 B 不发生； （3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生； （5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生. 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件. 解：（1） ABC ；（2） ABC ；（3） ABC 或 ABC ；（4） ABC 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（5） ABC 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （6） ABACBC 或 ABC ABC ABC ABC ； （7） ABC ABC ABC ；（8） ABC ABC ABC . 【例 3】把 n 个不同的球随机地放入 N(N n) 个盒子中，求下列事件的概率： （1）某指定的 n 个盒子中各有一个球； （2）任意 n 个盒子中各有一个球； （3）指定的某个盒子中恰有 m(m n) 个球. 分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为 这一类型.每个球都有 N 种放法， n 个球共有 n N 种不同的放法.“某指定的 n 个 盒子中各有一个球”相当于 n 个球在 n 个盒子中的全排列；与（1）相比，（2） 相当于先在 N 个盒子中选 n 个盒子，再放球；（3）相当于先从 n 个球中取 m 个 放入某指定的盒中，再把剩下的 n−m 个球放入 N −1 个盒中. 解：样本空间中所含的样本点数为 n N