第五章 大数定理与中心极限定理 开课系:数学学院 主讲教师:刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
第五章 大数定理与中心极限定理 大数定理与中心极限定理 开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
§51切比雪夫不等式 定理5.1.1:P(143)若随机变量X的期望E(X)和方差D(X 存在,则对任意ε>0,有 P{X-E(X)8}≤ D(X 等价形式为 PX-E(X)KE21-DC)
§5.1 切比雪夫不等式 定理5.1.1:P(143)若随机变量X的期望E(X)和方差D(X) 存在，则对任意ε>0，有 ; D(X) P{| X E(X) | } 2 ε − ≥ ε ≤ 等价形式为 . D(X) P{| X E(X) | } 1 2 ε − < ε ≥ −
例:一机床制造长度为50cm的工件,由于随机扰动,工件 长度总有一定误差。统计表明,长度的均方差为2.5mm。 若工件实际长度在4925~5075cm之间算合格,请估计该机 床制造工件的合格率。 解:设X表示工件长度,则由题意有 EX=50,D(X)=0.25*0.25 由切比雪夫不等式,有合格率为 0.2528 P{X-E(x)k075}21 0.7529
例：一机床制造长度为50cm的工件，由于随机扰动，工件 长度总有一定误差。统计表明，长度的均方差为2.5mm。 若工件实际长度在49.25~50.75cm之间算合格，请估计该机 床制造工件的合格率。 解：设X表示工件长度，则由题意有 EX=50，D(X)=0.25*0.25 由切比雪夫不等式，有合格率为 2 2 0.25 8 {| ( ) | 0.75} 1 . 0.75 9 P X EX − < ≥− =
§52大数定律 定义5.2.P(144设X1X2…,X是随机变 量序列,a是一个常数;若对任意>0,有 limP(X -)=1, n00 则X,X2,…,X依概率收敛于a,记为x>a 定理51(切比雪夫大数定律)设互相独立的随机变量 序列Ⅹ,X2,,Xn数学期望与方差都存在,且存在 常数c,使每个D(Xi)≤c(=1,2,,,则必有 im(∑x-∑E(X)k8)=1
§5.2 大数定律 定义5.2.1P(144): 设 X1, X2, …, Xn是随机变 量序列，a是一个常数；若对任意ε>0, 有: lim (| | ) 1, n n PX a ε →∞ −< = 则X1, X2, …, Xn依概率收敛于a，记为 . P X a n → 定理5.2.1(切比雪夫大数定律）设互相独立的随机变量 序列X1, X2, …, Xn,…数学期望与方差都存在，且存在 常数c，使每个D(Xi) ≤c(i=1,2,…)，则必有 1 1 1 1 lim (| ( ) | ) 1 n n i i n i i p X EX n n ε →∞ = = ∑ ∑ − <=
推论:(独立同分布大数定律) 设随机变量X1,X2,…,X相互独立,且服从相同 分布,记E(X)=,D(Ⅹ)(=1,2,),记 X=∑X则有X n1k=1 即对任意的8>0,有 limPllX-ukE)=lim P(l-X-ukE)= 或imP-∑x4-u≥e}=0 n n k=1
推论：（独立同分布大数定律） 设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且服从相同 分布，记E(Xi)=μ，D (Xi)=σ2(i=1,2,…), 记 1 1 n k k X X n = = ∑ 则有 . P X →µ 即对任意的ε>0，有: 1 1 lim {| | } lim {| | } 1 n k n n k PX P X n µε µε −>∞ −>∞ = −∞ µ ε n k k n X n 或 P
证明: E(∑X)=∑Ek=∑= D(∑X)=∑Dxk= 2 2 no n 由切比晓夫不等式得:PH2x-KQ k=1 当m→时,P-∑x-k8
∑ = ∑ = ∑ µ = µ = = = n k n k k n k k n EX n X n E 1 1 1 1 1 ) 1 ( 2 2 2 1 2 1 1 1 1 ) 1 ( σ σ n n n DX n X n D n k k n k ∑ k = ∑ = = = = | } 1 1 {| 1 → ∞ ∑ − < = = µ ε n k X k n 当 n 时， P 。 由切比晓夫不等式得： 2 2 1 | } 1 1 {| ε σ µ ε n X n P n k ∑ k − < ≥ − = 证明：
定理52,2(贝努里大数定律)设是n次独立重复试验 中事件A发生的次数nA,记f1(A=nA/,p是事件A发生 的概率,则有()-→p 即对任意的8>0,有lmP(-p≥E}=0 或 n->00 n->00 n pke= lim P-A 在第k次试验中A不发生 证:令X= k=12 ,在第次试验中A发生 则n=∑X,且x…X相互独立同服从于0-1分布 故EX=p,DXk=p(1-p),k=1,2,…,n,… 由推论有limP ∑x-pk8}=1 n2->00 即imP(-pks}=1。此定理说明了频率的稳定性
证： 令 k n k A k A Xk 1,2, , 1 0 = " = ， ，在第 次试验中 发生 ，在第 次试验中 不发生 故 EX k = p， DX k = p ( 1 − p )， k = 1,2," , n," | } 1 1 lim {| 1 ∑ − ∞ X p ε n P n i i n 由推论有 , 即 lim {| − | ∞ p ε n n P A n 。此定理说明了频率的稳定性。 则 ∑= = n k n A Xk 1 ，且 X Xn , , 1 " 相互独立同服从于 ( 0 − 1 )分布 定理5.2.2（贝努里大数定律）设是 n次独立重复试验 中事件 A发生的次数 n A，记 f n(A)= n A /n，p是事件 A发生 的概率，则有 () . P nf A p → 即对任意的 ε>0 ，有 或 lim {| − | ∞ p ε n n P A n lim {| − |≥ } = 0 − > ∞ p ε n n P A n
定理523(辛钦大数定律) 设随机变量X,X2…,X相互独立,且服从相同 分布,B(X(=1,2,)存在,记x=2 k=1 则有X—> 即对任意的8>0,有 iP{X-μkE}=limP{ ∑X4-k n->0 n->0nk=1 或imP(∑x-上≥8}=0 注:贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 定理5.2.3（辛钦大数定律） 设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且服从相同 分布，E(Xi)=μ (i=1,2,…)存在, 记 1 1 n k k X X n = = ∑ 则有 . P X →µ 即对任意的ε>0，有: 1 1 lim {| | } lim {| | } 1 n k n n k PX P X n µε µε −>∞ −>∞ = −∞ = 或 ∑ −≥ =
§53中心极限定理 定理531(独立同分布的中心极限定理) 设X,Ⅹ2…,Xn,…,是独立同分布的随机变量序 列,且 Ek=,DX=0≠0k=1,2,… 则对随机变量∑x4-m n 及任意的x∈R,有 limP{yn≤x} e 2dt =p(x) 等价地 imYn-N(0.1)或者是im2>~N(m,m02) n→0 k=1
定理5.3.1(独立同分布的中心极限定理） 设 X 1, X 2, …, Xn,，…，是独立同分布的随机变量序 列，且 2 2 1 lim { } 2 x t n n P Y x e dt π − → ∞ −∞ ≤ = ∫ 则对随机变量 0,( 1,2, ) EX k = µ，DX k = σ 2 ≠ k = " 1 n k k n X n Y n µ σ = − = ∑ 及任意的 x ∈ R，有 = Φ( ) x 等价地 lim (0,1) n n Y N →∞ ∼ 或者是 2 1 lim ( , ) n k n k X Nn n µ σ → ∞ = ∑ ∼ §5.3 中心极限定理
e Moivre--Laplace 定理532:(德莫佛-拉普拉斯定理) 设随机变量Xn=-1,2,…,服从参数为np(0①p<1)的 二项分布,则对任意的x∈R,有 lim p p e 2dt=p(x) n→0 npq 2兀 证明:因为Xn=∑Y 其中Y1,Y2,…,Yn相互独立且都服从于(01)分布。 且有EY→p,DYk=p,k=1,2,…,n.由中心 极限定理知结论成立
(De Moivre--Laplace) 定理5.3.2: (德莫佛-拉普拉斯定理） 设随机变量 X n(n=1，2，…)服从参数为n,p(0<p<1)的 二项分布，则对任意的x∈R，有 2 2 1 lim { } 2 x t n n X np P x e dt npq π − → ∞ −∞ − ≤ = ∫ = Φ( ) x 1 n n k k X Y = 证明：因为 = ∑ 其中Y1，Y2，…，Yn相互独立且都服从于(0-1)分布。 且有EY k=p，DY k=pq，k=1，2，…，n. 由中心 极限定理知结论成立