西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第三章 矩阵的初等变换（1/2）

第三章矩阵的初等变换 31矩阵的秩 1.子式:在A中,选取k行与k列,位于交叉处的k2个数按照原来的 相对位置构成k阶行列式称为A的一个k阶子式,记作D 对于给定的k,不同的k阶子式总共有CC个 2.矩阵的秩:在A中,若 (1)有某个r阶子式D≠0; (2)所有的r+1阶子式Dn=0(如果有r+1阶子式的话) 称A的秩为r,记作 ranka=r,或者r(A)=r,规定: ranko=0 性质:() rankA≤min{m,n} (2)k≠0时mank(k4)= ranka (3)rankA=rankA (4)A中的一个D≠0→ rankA≥r (5)A中所有的D1=0→mnkA≤r 例1A=212-212|,求r(A) 解位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式D2 =30≠0 计算知,所有的3阶子式D3=0,故r(4)=2 [注]A,着 ranka=m,称A为行满秩矩阵 若 ranka=n,称A为列满秩矩阵

1 第三章 矩阵的初等变换 §3.1 矩阵的秩 1. 子式：在 Amn 中, 选取 k 行与 k 列, 位于交叉处的 2 k 个数按照原来的 相对位置构成 k 阶行列式, 称为 A 的一个 k 阶子式, 记作 Dk ． 对于给定的 k , 不同的 k 阶子式总共有 k n k Cm C 个． 2. 矩阵的秩：在 Amn 中，若 (1) 有某个 r 阶子式 Dr  0 ； (2) 所有的 r + 1 阶子式 Dr+1 = 0 （如果有 r + 1 阶子式的话）． 称 A 的秩为 r , 记作 rankA= r, 或者 r(A) = r ．规定： rankO = 0 性质：(1) rankA min{m,n} mn  (2) k  0 时 rank (kA) = rankA (3) rankA rankA T = (4) A 中的一个 Dr  0  rankA  r (5) A 中所有的 Dr+1 = 0  rankA  r 例 1           − − = 1 3 1 4 2 12 2 12 2 3 8 2 A , 求 r(A) ． 解 位于 1,2 行与 1,2 列处的一个 2 阶子式 30 0 2 12 2 3 2 =  − D = 计算知, 所有的 3 阶子式 D3 = 0 , 故 r(A) = 2 ． [注] Amn , 若 rankA= m , 称 A 为行满秩矩阵； 若 rankA= n, 称 A 为列满秩矩阵．

Awn,若rank4=n,称A为满秩矩阵〔可逆矩阵非奇异矩阵) 着 rankA<n,称A为降秩矩阵(不可逆矩阵,奇异矩阵) §32矩阵的初等变换 1.初等变换 行变换 列变换 ①对调 ②数乘(k≠0)kr kci ③倍加 +k A经过初等变换得到B,记作A B 有限认 2.等价矩阵:若Anwn→Bnwn,称Amx与Bmn等价,记作 AA B (1)自反性:A=A (2)对称性:An=Bmm→Bm兰Anw (3)传递性: AA B,Bn C 定理1AB→ ranka= rankB 证只需证明An→Bnwm→ rankA= rank B 设 ranka=r,仅证行变换之(3)的情形: a, +ka B (1)若r<min{m,n},则有 )不含:D=D=0 D含r,不含:D=D±kD/+=0

2 Ann , 若 rankA= n, 称 A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若 rankA n, 称 A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）． §3.2 矩阵的初等变换 1. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 i j r  r i j c  c ② 数乘 ( k  0) i k r i k c ③ 倍加 i j r + k r i j c + k c Amn 经过初等变换得到 Bmn , 记作 Amn → Bmn． 2. 等价矩阵：若 Amn → Bmn 有限次 , 称 Amn 与 Bmn 等价, 记作 Amn  Bmn ． (1) 自反性： A  A (2) 对称性： Amn  Bmn  Bmn  Amn (3) 传递性： Amn  Bmn , Bmn  Cmn  Amn  Cmn 定理 1 Amn  Bmn rankA= rankB． 证 只需证明 Amn →Bmn 1次 rankA= rankB． 设 rankA= r, 仅证行变换之(3)的情形： B k A j i j r k r j i i j =                 + →                 = +            (1) 若 r  min{m,n}, 则有 ( ) 1 B Dr+ 不含 i r ： 0 ( ) 1 ( ) +1 = + = A r B Dr D ( ) 1 B Dr+ 含 i r , 不含 j r ： 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) +1 = +  + = A r A r B Dr D k D

DA含r,且含r:DA=DA=0 故B中所有的r+1阶子式D=0→mnkB≤r=mank4 B→A→mnk≤ rankB,于是可得 ranka= rankB (2)若r=m或者r=n,构造矩阵 B O B 由(1可得A1→B1→mnk41= rankB1 rankA. = ranka → ranka= rankb rankB. =rankB 其余情形类似 38 例2A=212-212|,求r(A) 解A→06-44→06-44,故r(A)=2 000 0 2 行 行最简形:A+01-2/32/3|→01-232/3|=B 000 000 1000 行与列 标准形:A→0100=H 0000 定理2若 ranka=r(r>0),则

3 ( ) 1 B Dr+ 含 i r , 且含 j r ： 0 ( ) 1 ( ) +1 = + = A r B Dr D 倍加 故 B 中所有的 r + 1 阶子式 0 ( ) +1 = B Dr rankB r = rankA B A i j r −k r → rankA rankB, 于是可得 rankA= rankB． (2) 若 r = m 或者 r = n, 构造矩阵 ( 1) ( 1) 1 +  +       = O O m n A O A , ( 1) ( 1) 1 +  +       = O O m n B O B 由(1)可得 A1 B1 i j r +k r → 1 1 rankA = rankB    = = B B A A rank rank rank rank 1 1 rankA= rankB 其余情形类似． 例 2           − − = 1 3 1 4 2 12 2 12 2 3 8 2 A , 求 r(A) ． 解           − − − → 1 3 1 4 0 6 4 4 0 9 6 6 行 A           → − 0 0 0 0 0 6 4 4 1 3 1 4 行 , 故 r(A) = 2 ． 行最简形：           → − 0 0 0 0 0 1 2 3 2 3 1 3 1 4 行 A = B           → − 0 0 0 0 0 1 2 3 2 3 1 0 3 2 行 标准形： A = H           → 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 行与列 定理 2 若 rank = (  0)  A r r m n , 则

b1 b 行阶梯形 0 0 IG G2I IiI 0 0 行 =H:行最简形 0 0 0 定理3若mnk4m=r(>0),则A、「E,o 称为A的等价标准形 00 推论1若A满秩,则AsEn 推论2 AA B台 ranka=rnkB §33解线性方程组的消元法 +3x1=1 例如4x1+2x2+5x3=4(2) 1 x,+3 l (2)-2(1) 4 =2 (5) (3)-(1) R- 6 +3. (7) (5)-4(6) =5 (8) (5)分>(6) 3 18(9)

4                       → 0 0 0 0 * * 0 0 * 2 2 1 1 1 1 1 2                  r r r r i i i i i i b b b b b b A 行 = B ：行阶梯形 [ ] [ ] [ ] 1 2 r i i i                       → 0 0 0 0 1 * 1 0 * 0 0 1 0 0 *                  行 A = H ：行最简形 定理 3 若 rank = (  0)  A r r m n , 则       → O O E O A r , 称为 A 的等价标准形． 推论 1 若 Ann 满秩, 则 A  En ． 推论 2 Amn  Bmn  rankA = rankB ． §3.3 解线性方程组的消元法 例如      + = + + = − + = 2 2 6 (3) 4 2 5 4 (2) 2 3 1 (1) 1 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x (3) (1) (2) 2(1) − −      − = − = − + = 5 (6) 4 2 (5) 2 3 1 (4) 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x (5) (6) (5) 4(6)  −      = − − = − + = 3 18 (9) 5 (8) 2 3 1 (7) 3 2 3 1 2 3 x x x x x x      = − = − = 6 1 9 3 2 1 x x x

解线性方程组的初等变换 (1)互换两个方程的位置 (2)用非零数乘某个方程 (3)将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下 b=425:4 6」 202:6 003:-18 001:-6 方程组: b2\或 渚者Ax=b 增广矩阵:A=[Ab 设 rankA=r,且A的左上角r阶子式D≠0,则 10 0: b b,d 行最简形 0:0 00 Ax=b的同解方程组为

5 解线性方程组的初等变换： (1) 互换两个方程的位置 (2) 用非零数乘某个方程 (3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：             − = 2 0 2 6 4 2 5 4 2 1 3 1 A b           − − − → 0 1 1 5 0 4 1 2 2 1 3 1 行           − − − → 0 0 3 18 0 1 1 5 2 1 3 1 行           − → − 0 0 1 6 0 1 0 1 1 0 0 9 行 方程组：             m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1             n x x x  2 1             = mb b b  2 1 或者 Ax = b 增广矩阵： A = A b ~ 设 rankA= r, 且 A 的左上角 r 阶子式 Dr  0 , 则                       → + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ~ 1 , 1 2, 1 2 2 1, 1 1 1                       r r r r n r r n r n d b b d b b d b b d A 行 ： 行最简形 Ax = b 的同解方程组为

x+b+r= rankA 若dn1=0,则方程组(34有解:mnkA=r=rank (1)r=n时,方程组34)成为 x1=d1,x2=l2,…,xn=dn是其唯一解 (2)r<n时,方程组(34成为 x2=d2-b2 b 一般解为 x2=d2-b2k4-…-bnkn b,+k1 b k k1 x.= 其中k1,k2,…,k。为任意常数 定理4A,A=[A|b (1)Ax=b有解台 ranka=nank4; (2)4x=b有解时,若rnkA=n,则有唯一解; 若 ranka<n,则有无穷多组解 定理5(1) Ax=0有非零解冷rank4<n; (2)Amx=0有非零解兮detA=0

6          = + + + = + + + = + + + = + + + + + + + 1 , 1 1 2 2, 1 1 2 2 1 1, 1 1 1 1 0 r r r r r rn n r r r n n r r n n d x b x b x d x b x b x d x b x b x d     (3.4) 若 dr+1  0, 则方程组(3.4)无解： A = r + 1  r = ~ rank rankA 若 dr+1 = 0, 则方程组(3.4)有解： A= r = ~ rank rankA (1) r = n 时, 方程组(3.4)成为 x1 = d1 , x2 = d2 , …, xn = d n 是其唯一解 (2) r  n 时, 方程组(3.4)成为        = − − − = − − − = − − − + + + + + + r r r r r rn n r r n n r r n n x d b x b x x d b x b x x d b x b x     , 1 1 2 2 2, 1 1 2 1 1 1, 1 1 1 一般解为            = = = − − − = − − − = − − − − + + − + − + − n n r r r r r r rn n r r n n r r n n r x k x k x d b k b k x d b k b k x d b k b k      1 1 , 1 1 2 2 2, 1 1 2 1 1 1, 1 1 1 其中 k k kn−r , , , 1 2  为任意常数． 定理 4 Amn , A = A b ~ (1) Ax = b 有解  A = ~ rank rankA ； (2) Ax = b 有解时, 若 rankA= n, 则有唯一解； 若 rankA n, 则有无穷多组解． 定理 5 (1) Amn x = 0 有非零解 rankA n ； (2) Ann x = 0 有非零解  detA = 0．

课后作业:习题三1,2,3,4

7 课后作业：习题三 1, 2, 3, 4