西北工业大学：《线性代数》课程教学资源（讲稿）第二章 矩阵及其运算（1/2）

第二章矩阵及其运算 21矩阵 方程组由其系数和右端项确定 a1r1+a1x2+.+aux,= b a21x1+a2x2+…+a2nxn= bb:b amx,+amx+.+ax,=b 2.矩阵设m个数an(=12,…,m;j=1,2,…,n)排成m行n列的数表 au aI 用括号将其括起来,称为m×n矩阵,并用大写字母表示,即 4=(“a:,简记为A=(a) (1)an称为A的i行j列元素(4)m=n称A为方阵 (2)an∈R称A为实矩阵 (5)m=1,n>1称A为行矩阵 (3)an∈C称A为复矩阵 (6)m>1,n=1称A为列矩阵 零矩阵:所有元素都是0的矩阵. A10 单位矩阵En ;对角矩阵A 2 0 n 3.线性变换与矩阵设变量y1,y2…yn可由变量x1,x2…xn表示为

1 第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 1. 方程组由其系数和右端项确定        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 m m mm m n n a a a b a a a b a a a b        1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 2. 矩阵 设 mn 个数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ij =  =  排成 m 行 n 列的数表 m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 用括号将其括起来, 称为 mn 矩阵, 并用大写字母表示, 即             = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 , 简记为 A = aij mn ( ) . (1) ij a 称为 A 的 i 行 j 列元素 (4) m = n 称 A 为方阵 (2) aij  R 称 A 为实矩阵 (5) m = 1, n  1 称 A 为行矩阵 (3) aij C 称 A 为复矩阵 (6) m  1, n = 1 称 A 为列矩阵 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵. 单位矩阵             = 0 0 1 0 0 1 1 0 0        En ；对角矩阵             = n    0 0 0 0 0 0 2 1        3. 线性变换与矩阵 设变量 m y , y , , y 1 2  可由变量 n x , x , , x 1 2  表示为

V,=a1x + a1x y2=a21x1+a2x2 Vm=amx,tam2x2+.tamnx 称之为由变量x1,x2,…xn到变量y,y2…yn的线性变换,它与矩阵 A=(an)m是一一对应关系 §22矩阵的基本运算 同阶矩阵:指行数相等、列数相等的矩阵 矩阵相等:设A=(an)mn,B=(b,)mn,若 b(i=1,2 ),称A=B 1.线性运算:A=(an)mn,B=(b)m bu 加法:A+B=(an+b)m a+ b 数乘:kA=(kan)mn k k a 负矩阵:-A=(-1)A=(-an)m 减法:A-B=(an-b,)mn mml mI 算律:设A,B,C为同阶矩阵,k,l为常数,则有 (1)A+B=B+A 5)1A=A (2)(A+B)+C=A+(B+C) (6)(kD)A=k(A) (3)A+O=A ()(k+/)A=kA+lA (4)A+(-A)=O (8)k(A+B)=kA+kB

2        = + + + = + + + = + + + m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 称之为由变量 n x , x , , x 1 2  到变量 m y , y , , y 1 2  的线性变换, 它与矩阵 A = aij mn ( ) 是一一对应关系． §2.2 矩阵的基本运算 同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵． 矩阵相等：设 A = aij mn ( ) , B = bij mn ( ) , 若 aij = bij (i = 1,2,  ,m; j = 1,2,  ,n) , 称 A = B . 1. 线性运算： A = aij mn ( ) , B = bij mn ( ) 加法：           + + + + + = +  = m m mn mn n n ij ij m n a b a b a b a b A B a b     1 1 11 11 1 1 ( ) 数乘：           =  = m mn n ij m n k a k a k a k a kA k a     1 11 1 ( ) 负矩阵：− A = − A = −aij mn ( 1) ( ) 减法：           − − − − − = −  = m m mn mn n n ij ij m n a b a b a b a b A B a b     1 1 11 11 1 1 ( ) 算律：设 A, B, C 为同阶矩阵, k, l 为常数, 则有 (1) A + B = B + A (5) 1A = A (2) (A + B) + C = A + (B + C) (6) (kl)A = k(l A) (3) A+O = A (7) (k + l)A = k A + l A (4) A + (−A) = O (8) k(A + B) = k A + kB

例1设4-1-20,B 435 满足2A+X=B-2X,求X 解X=(B-2A) 2.矩阵乘法: q1 特殊情形n=[n2…nlgm-14 qn PQ=p1q1+P2q2+…+pnqn 般情形A=(an)m,B=(b,)n b AB= [注]A的列数=B的行数 AB的行数=A的行数;AB的列数=B的列数 A与B的先后次序不能改变 例2A=0 八1:0:1 AB=0630 0:2:1:0 [注]BA无意义

3 例 1 设       − = 4 3 5 1 2 0 A ,       = 5 3 4 8 2 6 B 满足 2A + X = B − 2X , 求 X ． 解       − − − = − = 1 1 1 2 2 2 ( 2 ) 3 1 X B A 2. 矩阵乘法： 特殊情形   P1n = p1 p2  pn ,              = n n q q q Q  2 1 1 PQ= p1q1 + p2 q2 ++ pn qn  一般情形 A = aij ms ( ) , B = bij sn ( )   ij ai ai ais c = 1 2                sj j j b b b  2 1 = ai1b1 j + ai2b2 j ++ aisbsj           = m ms s a a a a AB     1 11 1            s sn n b b b b     1 11 1           = m mn n c c c c     1 11 1 [注] A 的列数 = B 的行数． AB 的行数 = A 的行数； AB 的列数 = B 的列数． A 与 B 的先后次序不能改变． 例 2           − = 1 0 0 3 3 1 A ,       − = 0 2 1 0 1 0 1 1 B ,           − − − = 1 0 1 1 0 6 3 0 3 2 2 3 AB [注] BA 无意义．

例3A= B AB [注]AB≠BA;A≠O,B≠O,但是BA=O 算律:(1)(Am,B,n)Cm=A(BC (2)A(Bn+Cen=AB+Ac (A +B) Cen= AC +BC (3)k(A Bm)=(kA)B=A(kB) (4)Em A=A, AE=A 验证(1)设A=(an)m,B=(b)n,C=(cn)m,则 BCl=∑ab akber a, but t=1(k=1 C 4(BC刀=[n C ∑b,c ∑ akb,=AB)Cl Vi,J) y 应用:A=4a2 b2 y2

4 例 3       = 1 2 1 2 A ,       − − = 1 1 1 1 B       − − = 1 1 1 1 AB ,       = 0 0 0 0 BA [注] AB  BA ； A  O, B  O, 但是 BA = O． 算律：(1) (A B )C A(BC) ms sn nl = (2) Ams (Bsn +Csn ) = AB + AC (Ams + Bms )Csn = AC + BC (3) k(A B ) (kA)B A(kB) ms sn = = (4) Em Amn = A, AmnEn = A 验证(1) 设 A = aij ms ( ) , B = bij sn ( ) , ij n l C c =  ( ) , 则                 =   = = nj j s k i k kn s k ij i k k c c AB C a b  a b  1 1 1 1 [( ) ] tj n t s k ik kt  a b c = =       = 1 1                 =   = = n t st tj n t t tj ij i i s b c b c A BC a a 1 1 1 1 [ ( )]     = =       = s k n t ik kt tj a b c 1 1 tj n t s k ik kt  a b c = =       = 1 1 AB C ij = [( ) ] ( i, j) 应用：             = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,             = n x x x x  2 1 ,             = mb b b b  2 1 ,             = m y y y y  2 1

线性方程组的矩阵形式Ax=b 线性变换的矩阵形式y=Ax 3.方阵的幂: A,k,l为正整数 A=A,A4+=AA(k=12,… 算律:(1)A4A=A (2)(A4) 101 例4A=20,求A(k=23,…) 01T10 102 解法1A2=2020 02T1011「103 A=A2A 22020 230 可以验证:A 101 001 解法2A=20=2+000=B+C BC=CB→(B+C)=B+kBC+…+Ck C2=O→4=(B+C)=B+kBC +k2 1‖1000

5 线性方程组的矩阵形式 Ax = b 线性变换的矩阵形式 y = Ax 3. 方阵的幂： Ann , k , l 为正整数 A = A 1 , ( 1,2, ) A k+1 = A k A k =  算律：(1) k l k l A A A + = (2) k l k l (A ) = A 例 4           = 1 2 0 1 0 1 A , 求 A (k = 2,3, ) k ． 解法 1           =                     = 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 A           =                     = = 1 2 0 1 0 3 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 2 3 2 2 3 A A A 可以验证：           = 1 2 0 1 0 k k k A 解法 2 A = B + C           +           =           = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 0 1 0 1 BC = CB k k k k B +C = B + kB C + +C ( ) −1  C 2 = O A B C B kB C k k k k 1 ( ) − = + = +                     +           = − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 1 k k 1 k

001 0 k k000 4.矩阵的转置 a A aln a2 算律:(1)(A)=A(2)(Amn+Bnn)=A+B (3)(kA)=kA(4)(Am,B,n)2=BA 验证(4)A=(an)m,B=(b) AB=C=(Cumxm, B A=D=(du)mxmt [=cn=pn…a,l:=a+…+a. [右=d= bn…b b, a b 故d=cn(=12,…,n,j=12,…m),即(AB)2=BA 对称矩阵:指A满足A=A,即an=an(i,j=12,…,m) 反对称矩阵:指Am满足A=-A,即a=-an(,j=12,…,m 5.方阵的行列式:指A=(an)mn的元素按照原来的相对位置构成的 行列式,记作det4,或者1 算律:(1)detf=detd (2)det(la)=/" detA (3)det(AB)=(det a)(detb)(4)detA"=(det a)

6           =           +           = 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 k k k k 4. 矩阵的转置：             = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,             = n n mn m m a a a a a a a a a A       1 2 12 22 2 11 21 1 T 算律：(1) A = A T T ( ) (2) T T T (Amn + Bmn ) = A + B (3) T T (k A) = k A (4) T T T (AmsBsn ) = B A 验证(4) A = aij ms ( ) , B = bij sn ( ) ij m n AB C c = =  ( )  , B A =D = dij nm ( ) T T  左ij =   j i j s si si i ji j j s a b a b b b c a a = + +           =   1 1  1 1 右ij =   i j si j s j i j s j i j i si b a b a c a a d b b = + + =           =   1 1  1 1 故 d c (i 1,2, ,n; j 1,2, ,m) ij = ji =  =  ，即 T T T (AB) = B A ． 对称矩阵：指 Ann 满足 A = A T ，即 a a (i, j 1,2, ,n) ij = ji =  反对称矩阵：指 Ann 满足 A = −A T ，即 a a (i, j 1,2, ,n) ij = − ji =  5. 方阵的行列式：指 A = aij nn ( ) 的元素按照原来的相对位置构成的 行列式, 记作 detA, 或者 A ． 算律：(1) detA detA T = (2) l A l A n det( ) = det (3) det(AB) = (detA)(detB) (4) k k detA = (detA)

[注]方阵是数表,而行列式是数值 A B≠BA,而det(AB)=det(BA)

7 [注] 方阵是数表, 而行列式是数值． AnnBnn  BA, 而 det(AB) = det(BA)