第三章 连续型随机变量 开课系:数学学院 主讲教师:刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
第三章 连续型随机变量 连续型随机变量 开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
3.1一维连续型随机变量及其分布 3.1.1一维概率密度 1.定义(p64)对于随机变量X,若存在非负函 数f(x),(-∞<x<+∞),使对任意实数a,b(a<b) 都有 P(a<X≤b)=|f(x)dx 则称X为连续型随机变量,f(x)为X的概率 密度函数,简称概率密度或密度函数. 常记为X~f(x),(∞<x+e)
3.1 一维连续型随机变量及其分布 1. 定义(p64) 对于随机变量X，若存在非负函 数f(x)，(-∞<x<+∞)，使对任意实数a，b(a<b) ，都有 ( ) () b a P a X b f x dx < ≤ ＝∫ 则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率 密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为X～ f(x) , (-∞<x<+∞) 3.1.1 一维概率密度
密度函数的几何意义为 P(a<X≤b)=f(x)dx
密度函数的几何意义为 ( ) () b a Pa X b < ≤ f x dx ＝∫
2.密度函数的性质 (1)非负性f(x20,(-∞xo); 72)归一性f(x)dx=1 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质; 设随机变量Ⅹ的攏率密度为 f(x)=ae 求常数a
2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)≥0，(-∞<x<∞)； (2) 归一性 ( ) ＝1. ∫ +∞−∞ f x dx 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； x f x ae− ( ) = 设随机变量X的概率密度为 求常数a. 答: 2 1 a = f (x) 0 x 1
连续型随机变量的一个重要特点 连续型随机变量取单个值的概率为零 对任意实数c,若X~f(x),(-∞<x〈∞),则 PX=e}=0。于是 Pa<X<b=Pa≤X<b =P≤X≤b=f(x)x 我们不能认为:P{X=ad}=f()!
对任意实数c，若X～ f(x)，(-∞<x<∞)，则 P{X=c}＝0。于是 ∫ ≤ ≤ < < ≤ < b a P a X b f x dx P a X b P a X b { } ( ) { } { } ＝ ＝ ＝ 连续型随机变量取单个值的概率为零 连续型随机变量的一个重要特点: 我们不能认为： P{ } () X = a = f a ！
例:设X是连续型随机变量,其密度函数为 c(4x-2x2)0l} 解:(1).由密度函数的性质 +0 + 得1八=++(k 4x-2x 2x x C 所以
例：设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 ( ) ( ) − 1 ． ( ) = 1 ∫ +∞ − ∞ f x dx ( ) ∫ +∞ − ∞ 得 1 = f x dx () () () ∫ ∫ ∫ +∞ − ∞ = + + 2 2 0 0 f x dx f x dx f x dx ( ) ∫ = − 2 0 2 c 4 x 2 x dx 2 0 2 3 3 2 2 = c x − x c 3 8 = 8 3 所以， c =
0.pxl}=((k+(k (4x=2x)k
{ } () ∫ +∞ > = 1 ⑵．P X 1 f x dx () () ∫ ∫ +∞ = + 2 2 1 f x dx f x dx ( ) ∫ = − 2 1 2 4 2 8 3 x x dx 2 1 2 3 3 2 2 8 3 = x − x 2 1 =
例:某电子元件的寿命(单位:小时)是以 0x100 x 为密度函数的连续型随机变量.求5个同类型的元件在使 用的前150小时内恰有2个需要更换的概率 解:设:A={某元件在使用的前150小时内需 要更换}
例：某电子元件的寿命（单位：小时）是以 ( ) > ≤ = 100 100 0 100 2 x x x f x 为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件在使 用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. 解： 设：A={ 某元件在使用的前 150 小时内需 要更换 }
PX≤150}= 「八 150 100 d x 100 检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5 重 berno山i试验 B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150 小时} 1(2)80 则P(B)=C3×× 243
则 P() { } A = P X ≤150 检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5 重Bernoulli试验． B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150 小时 } ( ) ∫ −∞ = 150 f x dx ∫ = 150 100 2 100 dx x 3 1 = ( ) 2 3 2 5 3 2 3 1 × 则 P B = C × 243 80 =
3.12一维连续型分布函数 若X是连续型随机变量,其概率密度函数为(x),则X的分布函 数为 F(x)=P(X≤x)=f()d 0<X<+00 连续型随机变量的分布函数一定是连续的
3.1.2 一维连续型分布函数 若X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的分布函 数为 ( ) ( ) () , x F x P X x f t dt x −∞ = ≤ = − ∞ < < +∞ ∫ 连续型随机变量的分布函数一定是连续的