第六章 数理统计基本知识 开课系:数学学院 主讲教师:刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
第六章 数理统计基本知识 数理统计基本知识 开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com
§6.1总体和样本 1.总体:研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体:总体中的每个元素为个体。 例如:某工厂生产的电视机的寿命是一个总体,每 台电视机的寿命是一个个体;某学校男生的身高的全 体一个总体,每个男生的身高是一个个体
§6.1 总体和样本 1. 总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 例如：某工厂生产的电视机的寿命是一个总体，每一 台电视机的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全 体一个总体，每个男生的身高是一个个体
2.样本:来自总体的部分个体X1,…,X 如果满足: (1)随机性:X,i=1,,n与总体同分布 (2)独立性:X1,…,X1相互独立; 则称为容量为n的简单随机样本,简称样本。 而称X,…,Ⅺ的一次观察结果为样本观察值, 记为x,…,",xn
2. 样本：来自总体的部分个体X1， … ，Xn 如果满足： （1）随机性： Xi，i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。 而称X1，… ，Xn 的一次观察结果为样本观察值， 记为x1，… ，xn
来自总体X的随机样本X1,…,X可记为(X1,“, X)为n维随机变量。且它们相互独立服从相同分布。 显然,样本联合分布函数为 F( m)=F(x) ()当总体Xf(x,则(X1,灬,X)的联合密度为 f(x1,x2,…,xn)=f(x1 (2)当总体XPXx)p,则(X1,…,X)的联合分布列为 P(X1=x,2=x2…,Xn=x)=P
来自总体X的随机样本X1， … ，Xn可记为（X1， … ， Xn)为n维随机变量。且它们相互独立服从相同分布。 显然，样本联合分布函数为 ∏ = = n i n i F x x x F x 1 1 2 * ( , ," , ) ( ) ∏ = = n i n i f x x x f x 1 1 2 * ( , ," , ) ( ) (1)当总体X~f(x)，则（X1， … ，Xn)的联合密度为 (2)当总体X~P(X=xi)=pi，则（X1， … ，Xn)的联合分布列为 1 12 2 1 ( , ,, ) n nn i i PX x X x X x p = = = == " ∏
§6.3统计量及三种常用分布 631统计量 定义63.P(163):设(X1,…,X)为来自总体X的 一个容量为n的样本,g(x1,…,X)是 x,…,Xn)的函数,且g中不含任何未知参数, 则称这类样本函数为统计量
§6.3 统计量及三种常用分布 6.3.1 统计量 定义6.3.1P(163)：设(X1， … ，Xn) 为来自总体X的 一个容量为n的样本，g (X1， … ，Xn) 是 (X1， … ，Xn) 的函数，且g中不含任何未知参数， 则称这类样本函数为统计量
例 设X1…Xn为来自总体X~N(μ,G2)的一个样本, 其中μ未知,σ已知,问下列随机变量中哪那些是统计 X+X X1+…+X in(X,x, Xn) n n (X1+Xn)2(1+…+Xn)-m (1)统计量是随机变量; (2)样本观察值x1,…,xn代入统计量,得统 计观察值g(x,…,xn)
例: . ( ) . ; ( ) ; ; 2 min( , , , ); 1 2 2 1 1 1 1 2 σ µ σ µ n X X X X n n X X X X X X X n n n n n + + + − − + + + " " " 设 为来自总体 的一个样本， 问下列随机变量中哪那些是统计 量 X "X n , 1 ~ ( , ) 2 X N µ σ 其中µ未知 ,σ 2已知， (1)统计量是随机变量; (2)样本观察值x1，… ，xn 代入统计量，得统 计观察值g(x1，… ，xn )
几个常用的统计量: 1样本均值X=∑x 2样本方差21 x2=m-1x2-n] 样本均方差(标准差)S=S2 3样本k阶矩 原点矩A=∑X Iy 中心矩B=2(
几个常用的统计量 ： , 1 1. 1 ∑ = = n i Xi n 样本均值 X 3.样本 k阶矩 1 1 1 1 ( ), n k k i i n k k i i A X n B XX n = = = = − ∑ ∑ 原 矩 中心矩 点 ( ) , ( ) 1 1 2. 2 1 2 2 S S X X n S n i i = − − = ∑ = 样本均方差 标准差 样本方差 2 2 1 1 [ ] 1 n i i X nX n = = − − ∑
它们的观察值分别为 x=∑x ∑ 2∑x2 S三 n-1 ∑ ∑x,k=12 (x1-x)^,k=12
它们的观察值分别为： ∑= = n i i x n x 1 1 [ ] 1 1 ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 ∑ ∑ = = − − − = − = n i i n i i x n x n x x n s ∑= − − = n i i x x n s 1 2 ( ) 1 1 , 1,2 " 1 1 = ∑ = = x k n a n i k k i ( ) , 1,2 " 1 1 = ∑ − = = x x k n b n i k k i
632三种常用分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布 x2-分布、t一分布和F—分布。 1、x2分布 定义63.2P(164):设(X1,…,X)为来自标准正态总 体NO,1)的样本,称统计量2y2 所服从的分布是自由度为n的x2分布,记作x2~(n)
1、χ2 分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： χ2—分布、 t —分布和F—分布。 定义6.3.2P(164)：设(X1， … ，Xn) 为来自标准正态总 体N(0,1)的样本，称统计量 2 2 1 n i i χ X = = ∑ 所服从的分布是自由度为n的χ2分布，记作χ2~ χ2(n). 6.3.2 三种常用分布
定理631x2(n)分布实质上就是参数为n2,12的分布, 即x(n)的密度函数为 f(x)=122 x2e2x>0 x<0 0.4 0.35x=1 0.25 0.15 n=10 20 0.05 1 20 30
定理6.3.1 χ 2(n)分布实质上就是参数为n/2,1/2 的 Γ分布， 即 χ 2(n)的密度函数为 / 2 1 1 2 2 2 ( /2) , 0 ( ) 0, 0 n n x n xe x f x x − − Γ > = ≤