第三章内积空间,正规矩阵与H-阵 定义:设是实数域R上的n维线性空间, 对于V中的任意两个向量a,β按照某一确 定法则对应着一个实数,这个实数称为C与 β的内积,记为(a,B),并且要求内积满 足下列运算条件: (1)(a,B)=(B,a) (2)(ka,B)=k(a,B) (3)(a+B,y)=(a,y)+(B,y) (4)(a,a)≥0
第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵 定义： 设 是实数域 上的 维线性空间， 对于 中的任意两个向量 按照某一确 定法则对应着一个实数，这个实数称为 与 的内积，记为 ，并且要求内积满 足下列运算条件： V R n V , ( , ) (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0 k k = = + = +
这里a,B,y是V中任意向量,k为任意实数 ,只有当O=0时(a,a)=0,我们称带有 这样内积的n维线性空间为欧氏空间。 例1在Rn中,对于 a=(x1,x2,…,xn),B=(y1,y2,…,yn) 规定 (a,B)=x13+x2y2+.+xny 容易验证(,)1是R"上的一个内积,从 而R"成为一个欧氏空间。如果规定
这里 是 中任意向量， 为任意实数 ，只有当 时 ，我们称带有 这样内积的 维线性空间 为欧氏空间。 例 1 在 中，对于 规定 容易验证 是 上的一个内积，从 而 成为一个欧氏空间。如果规定 , , V k = 0 ( , ) 0 = n V n R 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) n n = = x x x y y y 1 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + x y x y x y 1 ( , ) n R n R
(a, B)2=x,vi+2x,y2+,.+nxm, y 容易验证( )2也是R上的一个内积 ,这样R又成为另外一个欧氏空间。 例2在nm维线性空间RMm中,规定 (A, B): -Tr(AB) 容易验证这是R上的一个内积,这样R×m 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例3在线性空间C[a,b中,规定
2 1 1 2 2 ( , ) 2 n n = + + + x y x y nx y 容易验证 也是 上的一个内积 ，这样 又成为另外一个欧氏空间。 2 ( , ) n R 例 2 在 维线性空间 中，规定 容易验证这是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 3 在线性空间 中，规定 n m R nm( , ) : ( ) T A B Tr AB = C a b [ , ] n m R n m R n R
( g): f(x)g(x)dx 容易验证(,g)是C[a,b上的一个内积, 这样C[,b对于这个内积成为一个欧氏空间。 定义:设V是复数域C上的n维线性空间, 对于V中的任意两个向量a,B按照某一确定 法则对应着一个复数,这个复数称为与B 的内积,记为(a,B),并且要求内积满足下 列运算条件:
( , ) : ( ) ( ) b a f g f x g x dx = 容易验证 是 上的一个内积， 这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。 定义： 设 是复数域 上的 维线性空间， 对于 中的任意两个向量 按照某一确定 法则对应着一个复数，这个复数称为 与 的内积，记为 ，并且要求内积满足下 列运算条件： ( , ) f g C a b [ , ] C a b [ , ] V C n V , ( , )
(1)(a,B)=(B,a) (2)(ka,B)=k(a,B) (3)(a+B,y)=(a,y)+(,y) (4)(a,a)≥0 这里a,B,y是V中任意向量,k为任意复数 只有当a=0时(aO,a)=0,我们称带有 这样内积的n维线性空间V为酉空间。欧氏 空间与酉空间通称为内积空间。 例1设C″是n维复向量空间,任取
(1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0 k k = = + = + 这里 是 中任意向量， 为任意复数 ，只有当 时 ，我们称带有 这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏 空间与酉空间通称为内积空间。 例 1 设 是 维复向量空间，任取 , , = 0 ( , ) 0 = n V V k n C n
a=(a12a2,…,an),B=(b,b2,…,bn) 规定 (a, B): =a(B)=a,b+a,b,+.+a, b 容易验证(,)是C上的一个内积,从 而C"成为一个酉空间。 例2设C[a,b]表示闭区间[a,6上的所有 连续复值函数组成的线性空间,定义 ( g): f(x)g(x)dy
1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) = = a a a b b b n n 规定 容易验证 是 上的一个内积，从 而 成为一个酉空间。 例 2 设 表示闭区间 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义 1 1 2 2 ( , ) : ( )T = = + + + a b a b a bn n ( , ) n C n C C a b [ , ] [ , ] a b ( , ) : ( ) ( ) b a f g f x g x dx =
容易验证(,)是C[a,b上的一个内 积,于是C[a,b]便成为一个酉空间 例3在n2维线性空间CM中,规定 (A,B):=(AB) 其中B表示B中所有元素取共轭复数后再 转置,容易验证(,)是Cn上的 个内积,从而C连同这个内积一起成为 酉空间。 内积空间的基本性质:
容易验证 是 上的一个内 积，于是 便成为一个酉空间。 例 3 在 维线性空间 中，规定 其中 表示 中所有元素取共轭复数后再 转置，容易验证 是 上的一 个内积，从而 连同这个内积一起成为 酉空间。 内积空间的基本性质： ( , ) C a b [ , ] C a b [ , ] 2 n n n C ( , ) : ( ) H A B Tr AB = H B B ( , ) n n C n n C
欧氏空间的性质: (1)(a,kB)=k(a,B) (2)(a,B+y)=(a,B)+(a,) (3)(k1,B)=∑k(a12B) (4)(a,∑kB)=∑k(a,月)
1 1 1 1 (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( , ) ( , ) (4) ( , ) ( , ) t t i i i i i i t t i i i i i i k k k k k k = = = = = + = + = = 欧氏空间的性质：
酉空间的性质: (1)(a,kB)=k(a,B) (2)(a,B+y)=(a,B)+(a,y) (3)∑ka,B)=∑k(a,B) a∑kB)=∑(a,)
酉空间的性质： 1 1 1 1 (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( , ) ( , ) (4) ( , ) ( , ) t t i i i i i i t t i i i i i i k k k k k k = = = = = + = + = =
定义:设V是n维酉空间,{a}为其一组 基底,对于V中的任意两个向量 a=∑xa,B=∑ya 那么C与B的内积 (a,)=(∑x,2y)=∑xy(a1a) 令 gn=(a12a1),ij=1,2,…,n
定义：设 是 维酉空间， 为其一组 基底，对于 中的任意两个向量 那么 与 的内积 V n i V 1 1 , n n i i j j i j x y = = = = 1 1 , 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n i i i i i j i j i j i j x y x y = = = = = 令 ( , ), , 1, 2, , g i j n ij i j = =