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第一章线性空间和线性映射 矩阵理论的简单应用 矩阵在线性系统与多变量控制中的应用 线性系统的状态空间性方程为 X=A(t)X+B(t)U Y=C()X+D(t) 其中U()为Z维输入变量,X()为维状态向量
( ) ( ) ; ( ) ( ) , X A t X B t U Y C t X D t U = + = + 其中 U t( ) 为 l维输入变量， X t( ) 为 维状态向量， n 矩阵理论的简单应用 一：矩阵在线性系统与多变量控制中的应用 线性系统的状态空间性方程为 第一章 线性空间和线性映射
()为时维输出向量,矩阵()B(0)C()D( 分别为×以×I×则×I型矩阵且均为时间 的函数矩阵。 定义:如果上述方程中的矩阵BCD都是常 数矩阵,则称该系统是线性定常的。其状态空间形 方程为 Ⅰ=QI+D =N+B∩ 考虑一个线性定常系统
分别为 维输出向量，矩阵 Y t( ) 为 m A t B t C t D t ( ), ( ), ( ), ( ) n n n l m n m l , , , 型矩阵且均为时间 t 的函数矩阵。 定义：如果上述方程中的矩阵 都是常 数矩阵，则称该系统是线性定常的。其状态空间形 方程为 考虑一个线性定常系统 A B C D , , , X AX BU Y CX DU = + = +
X=AX+BU Y=CX+DU 定义:对于上述系统,如果从状态空间中的任意 点开始,可以找到一个输入(以),在有限的时间 内将状态变量驱动到原点,则称该系统是可控的; 否则,称该系统是不可控的。 定义:对于上述系统,如果在任一时刻的状态可以 由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维 零下的输出的观测来决定,则称该系统是可观测的 否则,称该系统是不可观测的
X AX BU Y CX DU = + = + 定义：对于上述系统，如果从状态空间中的任意一 点开始，可以找到一个输入 ，在有限的时间 内将状态变量驱动到原点，则称该系统是可控的； 否则，称该系统是不可控的。 u t( ) 定义：对于上述系统，如果在任一时刻的状态可以 由从这一时刻开始的一个有限时间间隔上对输入维 零下的输出的观测来决定，则称该系统是可观测的 ;否则，称该系统是不可观测的
我们首先以单输入单输出系统为例。 考虑系统下面的单输入单输出系统: X=aX+bu Y=cX 其中P和C是维矢量,\是×W矩阵, 及Ⅰ是标量。 定理:上面的单输入单输出系统是可控的充分必要 条件是可控性判别矩阵
我们首先以单输入单输出系统为例 。 考虑系统下面的单输入单输出系统： T X AX bu Y c X = + = 其中 和 是 维矢量， 是 矩阵， b c n A n n u 及 是标量。 Y 定理： 上面的单输入单输出系统是可控的充分必要 条件是可控性判别矩阵
Q=(6, b 1b 是可逆(非奇异)矩阵 例1:设 「010 A=001.,b=2 000
1 ( , , , ) n Q b b A b− = 是可逆（非奇异）矩阵。 例 1：设 0 1 0 1 0 0 1 , 2 0 0 0 3 A b = =
由于矩阵 123 6 46 46=12 3 0 300 是可逆矩阵,所以相应的系统是可控的。 例2:设
由于矩阵 2 1 2 3 2 3 0 3 0 0 b Ab A b = 是可逆矩阵，所以相应的系统是可控的。 例 2：设
000 0 A=100,b=1 010 由于矩阵 000 [b Ab 4b]=10 0 110
0 0 0 0 1 0 0 , 1 0 1 0 1 A b = = 由于矩阵 2 000 1 0 0 1 1 0 b Ab A b =
是不可逆(奇异)矩阵,所以相应的系统是不可控的。 定理:上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要 条件是可观测性判别矩阵
是不可逆（奇异）矩阵，所以相应的系统是不可控的。 定理： 上面的单输入单输出系统是可观测的充分必要 条件是可观测性判别矩阵 1 T T T n c c V c A − =
是可逆(非奇异)矩阵。 例3:设 A 2 由于矩阵 12 A33
是可逆（非奇异）矩阵。 例 3：设 1 1 , 1 2 1 1 T A c = = 由于矩阵 1 2 3 3 T T c c A =