等价向量组:设向量组T1:a1,a2,…,ar,T2:月,月2,…,B, 若a1(i=1,,r)可由B1,月,…,B,线性表示称T可由T2线性表示; 若T与T2可以互相线性表示称T与T2等价 (1)自反性:T1与T等价 (2)对称性:T1与7等价→T2与T等价 (3)传递性:T与T2等价,T2与T等价→T与T等价 定理8向量组与它的最大无关组等价 证设向量组T的秩为r,T的一个最大无关组为T1:a1,a2,…,a, (1)T中的向量都是T中的向量→T可由T线性表示; (2)任意a∈T,当a∈T1时,a可由T线性表示; 当agT时,a1,a2,…a,a线性相关而a1,a2,…,a,线性无关 由定理2知,a可由T线性表示,故T可由T线性表示 因此,T与T等价 推论向量组的任意两个最大无关组等价 定理9向量组T1:a1,a2,…ar,向量组T2:B1,B2,…,月, 若T线性无关,且T可由T2线性表示,则rs 证不妨设a与月都是列向量,考虑向量组 T:a1,a2,…,a1,月1,B2,…,月, 易见,秩(T)≥秩(T)≥r·构造矩阵
14 2．等价向量组：设向量组 T r : , , , 1 1 2 , T s : , , , 2 1 2 若 (i 1,2, ,r) i = 可由 s , , , 1 2 线性表示, 称 T1 可由 T2 线性表示； 若 T1 与 T2 可以互相线性表示, 称 T1 与 T2 等价． (1) 自反性： T1 与 T1 等价 (2) 对称性： T1 与 T2 等价 T2 与 T1 等价 (3) 传递性： T1 与 T2 等价, T2 与 T3 等价 T1 与 T3 等价 定理 8 向量组与它的最大无关组等价． 证 设向量组 T 的秩为 r , T 的一个最大无关组为 T r : , , , 1 1 2 ． (1) T1 中的向量都是 T 中的向量 T1 可由 T 线性表示； (2) 任意 T , 当 T1 时, 可由 T1 线性表示； 当 T1 时, 1 , 2 , , r , 线性相关, 而 r , , , 1 2 线性无关 由定理 2 知, 可由 T1 线性表示．故 T 可由 T1 线性表示． 因此, T 与 T1 等价． 推论 向量组的任意两个最大无关组等价． 定理 9 向量组 T r : , , , 1 1 2 , 向量组 T s : , , , 2 1 2 ． 若 T1 线性无关, 且 T1 可由 T2 线性表示, 则 r s ． 证 不妨设 i 与 j 都是列向量, 考虑向量组 T r s : , , , , , , , 1 2 1 2 易见, 秩 (T) 秩 (T ) r 1 ．构造矩阵
月1…,] 因为T可由T线性表示所以 月1…]→rnkA≤s 于是可得r≤秩(T)= ranks s 推论1若T可由T2线性表示,则秩(T1)≤秩(T2) 证设秩(T1)=r,且T1的最大无关组为a1,…,axn; 秩(2)=s,且T2的最大无关组为月,…,B,则有 T可由T2线性表示 ,a,可由T2线性表示 ax1,…,a,可由月,…,月,线性表示 s(定理9) 推论2设向量组T与T2等价,则秩(T)=秩(T2) 注]由“秩(T1)=秩(T2)”不能推出“T1与T等价”! 正确的结论是: r可由r线性表示→T与T等价 秩(T1)=秩T T2可由T线性表示 →T与T,等价 秩(T)=秩(T2) 例8设An,Bwn,则rank(AB)≤ rankA,rnk(AB) rank B 证设A=q)m,B=:,4B=C=1:·则 1b1+…+anb1(=1,2,…,m)
15 A = 1 r 1 s 因为 T1 可由 T2 线性表示, 所以 A 0 0 1 s 列 → rankA s 于是可得 r 秩 (T) = rankA s． 推论 1 若 T1 可由 T2 线性表示, 则 秩 (T1 ) 秩 ( ) T2 ． 证 设 秩 (T ) = r 1 , 且 T1 的最大无关组为 r , , 1 ； 秩 (T ) = s 2 , 且 T2 的最大无关组为 s , , 1 , 则有 T1 可由 T2 线性表示 r , , 1 可由 T2 线性表示 r , , 1 可由 s , , 1 线性表示 r s （定理 9） 推论 2 设向量组 T1 与 T2 等价, 则 秩 (T1 ) = 秩 ( ) T2 ． [注] 由“秩 (T1 ) = 秩 ( ) T2 ”不能推出“ T1 与 T2 等价”！ 正确的结论是： ( ) = ( ) 1 2 1 2 T T T T 秩 秩 可由 线性表示 T1 与 T2 等价 ( ) = ( ) 1 2 2 1 T T T T 秩 秩 可由 线性表示 T1 与 T2 等价 例 8 设 Aml , Bln , 则 rank( AB) rankA , rank( AB) rankB ． 证 设 ( ) m l A aij = , = l b b B 1 , = = m c c AB C 1 Δ , 则 ( 1,2, , ) ci = ai1b1 ++ ailbl i = m
即c1,…,cn可由b,…,b线性表示,故 rankc≤mnkB 根据上述结果可得 rankC =rank(C )=rank(B A)srank(A)=rankA §44向量空间 1.向量空间:设V是具有某些共同性质的n维向量的集合,若 对任意的a,B∈V,有a+B∈V;(加法封闭) 对任意的a∈V,k∈R,有ko∈V.(数乘封闭) 称集合V为向量空间 例如:R"={x|x=(51,52,…,5n5∈R}是向量空间 v={x|x=(0,52,…5n,5∈R}是向量空间 V={x|x=(1,52,,5n,51∈R}不是向量空间 0(1,52,…5n)=(0,0,…,0)V1,即数乘运算不封闭. 例9给定n维向量组a1,…,an(m≥1),验证 V={a|a=ka1+…+knan,k2∈R} 是向量空间,称之为由向量组a1,…,am生成的向量空间,记作 L(ar1,…,an)或者span{a1;…,an} 证设a,B∈V,则a=k1a1+…+knan,B=t1a1+…+tnan,于是有 a+B=(k1+t1)1+…+(km+tm)an∈ ka=(kk1a1+…+(kkn)an∈V(vk∈R) 由定义知,V是向量空间 2.子空间:设V1和V都是向量空间,且VcV2,称V为V2的子空间
16 即 m c , ,c 1 可由 b bl , , 1 线性表示, 故 rankC rankB． 根据上述结果可得 rankC rank(C ) rank(B A ) rank( A ) rankA T T T T = = = §4.4 向量空间 1．向量空间：设 V 是具有某些共同性质的 n 维向量的集合, 若 对任意的 , V , 有 + V ； （加法封闭） 对任意的 V , k R, 有 k V ． （数乘封闭） 称集合 V 为向量空间． 例如： R { ( , , , ), R} = = 1 2 n i n x x 是向量空间 { (0, , , ), R} V0 = x x = 2 n i 是向量空间 { (1, , , ), } V1 = x x = 2 n i R 不是向量空间 2 1 0(1, , , n ) = (0,0, ,0)V , 即数乘运算不封闭． 例 9 给定 n 维向量组 , , ( 1) 1 m m , 验证 { , R} V = = k11 ++ km m ki 是向量空间．称之为由向量组 m , , 1 生成的向量空间, 记作 ( , , ) L 1 m 或者 span{ , , } 1 m 证 设 , V , 则 = k11 ++ km m , m m = t 11 ++ t , 于是有 + = (k1 + t 1 )1 ++ (km + tm ) m V k = (k k1 )1 ++ (k km ) m V (k R) 由定义知, V 是向量空间． 2．子空间：设 V1 和 V2 都是向量空间, 且 V1 V2 , 称 V1 为 V2 的子空间．
例如:前面例子中的v是R"的子空间 例9中的L(a1,…,an)也是R"的子空间 3.向量空间的基与维数:设向量空间V,若 (1)v中有r个向量a1,…,a,线性无关; (2)Va∈v可由a1,…,ar,线性表示 称a1,…a,为V的一组基称r为V的维数,记作dm=r或者v [注零空间(}没有基,规定dm{θ}=0 由条件(2)可得:V中任意r+1个向量线性相关.(自证) 若dmV=r,则V中任意r个线性无关的向量都可作为v的基 例10设向量空间v的基为a1,…,a,则V=L(a1,…,a,) 证a∈V→∝=k,a1+…+ka.∈L→VcL va∈L→a=k1a1+…+k,a∈V→Lc 4.向量在基下的坐标:设向量空间v的基为a1,…,ar,对于Va∈V 表示式a=x1a1+…+xa,唯一(定理2),称(x1…,x,)为a在 基a1,…,a,下的坐标(列向量) [注]a为n维向量,a在V的基ax1,…,a,下的坐标为r维列向量 因为线性无关的“n维向量组”最多含有n个向量,所以由 n维向量构成的向量空间的基中最多含有n个向量,故r≤n 例11设向量空间v3的基为 ar1=(,1),a2=(,-1,1),a3=(1,-1,-1,1)
17 例如：前面例子中的 V0 是 n R 的子空间． 例 9 中的 ( , , ) L 1 m 也是 n R 的子空间． 3．向量空间的基与维数：设向量空间 V , 若 (1) V 中有 r 个向量 r , , 1 线性无关； (2) V 可由 r , , 1 线性表示． 称 r , , 1 为 V 的一组基, 称 r 为 V 的维数, 记作 dimV = r 或者 r V ． [注] 零空间 { } 没有基, 规定 dim{ } = 0． 由条件(2)可得： V 中任意 r + 1 个向量线性相关．（自证） 若 dimV = r , 则 V 中任意 r 个线性无关的向量都可作为 V 的基． 例 10 设向量空间 V 的基为 r , , 1 , 则 ( , , ) V = L 1 r ． 证 V = k11 ++ kr r L V L L = k11 ++ kr r V L V 4．向量在基下的坐标：设向量空间 V 的基为 r , , 1 , 对于 V , 表示式 = x11 ++ xr r 唯一（定理 2）, 称 T ( , , ) x1 xr 为 在 基 r , , 1 下的坐标（列向量）． [注] 为 n 维向量, 在 V 的基 r , , 1 下的坐标为 r 维列向量． 因为线性无关的“ n 维向量组”最多含有 n 个向量, 所以由 n 维向量构成的向量空间的基中最多含有 n 个向量, 故 r n ． 例 11 设向量空间 3 V 的基为 T (1,1,1,1) 1 = , T (1,1, 1,1) 2 = − , T (1, 1, 1,1) 3 = − −
求a=(1,2,1,1)在该基下的坐标 解设a=xa1+x2a2+x3a3,比较等式两端的对应分量可得 10 001 l/2 0 1/2 00 0 [注a是4维向量a在V的基a1,a2,a3下的坐标为3维列向量. 5.正交基:设向量空间v的基为a,…a,若la,al=0(i≠), 称a1,…,a,为V的正交基;若还有a1|=1(=1,2,…,r), 称a1,,a,为V的标准正交基 例如:R"的标准正交基为e1,…,en, 特点:向量空间v的正交基为a1,…,ar,对于va∈V,有 a=xa1+…+x:sa,a1l Iar,n/(=1,2,…,r) 当a1,…,a1为标准正交基时,有 c=x1C1+…十xCr =Ia,c;l(=1,2,…,r) Schmidt正交化过程:设向量空间v的基为a1 令 B1=a1 B1≠0 B2=a2+k21B1,B2≠0(否则a1,a2线性相关
18 求 T = (1,2,1,1) 在该基下的坐标． 解 设 = x11 + x2 2 + x3 3 , 比较等式两端的对应分量可得： = − − − 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 x x x − → − − − 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 , − = 1 2 1 2 1 3 2 1 x x x [注] 是 4 维向量, 在 3 V 的基 1 2 3 , , 下的坐标为 3 维列向量． 5．正交基：设向量空间 V 的基为 r , , 1 , 若 [ , ] 0 (i j) i j = , 称 r , , 1 为 V 的正交基；若还有 1 (i 1,2, ,r) i = = , 称 r , , 1 为 V 的标准正交基． 例如： n R 的标准正交基为 n e , ,e 1 ． 特点：向量空间 V 的正交基为 r , , 1 , 对于 V , 有 = x11 ++ xr r ： ( 1,2, , ) [ , ] [ , ] x i r i i i i = = 当 r , , 1 为标准正交基时, 有 = x11 ++ xr r ： x [ , ] (i 1,2, ,r) i = i = 6．Schmidt 正交化过程：设向量空间 V 的基为 r , , 1 , 令 1 = 1 , 1 0 2 = 2 + k211 , 2 0 （否则 1 2 , 线性相关）
1B2,月|=0→kn1=-a2,B1 IP,, B, B3=a3+k32月2+k3B1,B3≠0(否则a1,a2,a3线性相关) B3,B1l=0→k3 [a3, B,I IP,, Bl B,A2=0k÷la3,B1 IB2,月2l B,=ar+k,1B1+…+k,1B1,B,≠0(否则a1,…a,线性相关) B,Bl=0→k.ala,B IP B =1,2,…,r-1) 结论:月1,B2,…,月两两正交且非零→B1,B2,…,B线性无关 →月,B2,…,B是V的正交基 →令=m。B,则u1,n2,…,u,是V的标准正交基 B 例12已知向量空间V3的基为 ax1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,0),a3=(-1,0,0,1) 求v3的一组正交基 解月=a1=(1,1,0,0) B2=a2+k21月1=a2+(-)月1=(,-,1,0) B3=a3+k32B2+k3月1=a2+B2+B1=(-,,,1) 故V的一组正交基为B1,B2,B3
19 [ , ] [ , ] [ , ] 0 1 1 2 1 2 1 21 = k = − 3 = 3 + k32 2 + k31 1 , 3 0 （否则 1 2 3 , , 线性相关） [ , ] [ , ] [ , ] 0 1 1 3 1 3 1 31 = k = − [ , ] [ , ] [ , ] 0 2 2 3 2 3 2 32 = k = − ……………… r = r + kr,r−1 r−1 ++ kr1 1 , r 0 （否则 r , , 1 线性相关） ( 1,2, , 1) [ , ] [ , ] [ , ] = 0 k = − j = r − j j r j r j rj 结论： r , , , 1 2 两两正交且非零 r , , , 1 2 线性无关 r , , , 1 2 是 V 的正交基 令 j j uj 1 = , 则 u u ur , , , 1 2 是 V 的标准正交基 例 12 已知向量空间 3 V 的基为 (1,1,0,0) 1 = , (1,0,1,0) 2 = , ( 1,0,0,1) 3 = − 求 3 V 的一组正交基． 解 (1,1,0,0) 1 =1 = ,1,0) 2 1 , 2 1 ) ( 2 1 ( 2 = 2 + k21 1 = 2 + − 1 = − ,1) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( 2 1 3 1 3 = 3 + k32 2 + k31 1 = 2 + 2 + 1 = − 故 3 V 的一组正交基为 1 2 3 , , ．
课后作业:习题四6,10,11,12
20 课后作业：习题四 6, 10, 11, 12