第四章矩阵的分解 这章我们主要讨论矩阵的五种分解:矩阵的 满秩分解,正交三角分解,奇异值分解,极 分解,谱分解。 矩阵的满秩分解 定理:设A∈C m×n 那么存在 B∈C C∈Cr rxn 使得
第四章 矩阵的分解 这章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的 满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，极 分解，谱分解。 矩阵的满秩分解 定理：设 ，那么存在 使得 m n A Cr , m r r n B C C C r r
使得 A=BC 其中A为列满秩矩阵,B为行满秩矩阵。 我们成此分解为矩阵的满秩分解。 证明:假设矩阵A的前F个列向量是线性 无关的,对矩阵A只实施行初等变换可以 将其化成 D 00
A BC = 使得 其中 为列满秩矩阵， 为行满秩矩阵。 我们成此分解为矩阵的满秩分解。 证明：假设矩阵 的前 个列向量是线性 无关的，对矩阵 只实施行初等变换可以 将其化成 A B A r A 0 0 r I D
即存在P∈C""使得 PAD 00 于是有 A=P ILL D=BC 0 其中
即存在 使得 于是有 其中 m m P Cm 1 0 r r I A P I D BC − = = 0 0 r I D PA =
B= P ∈Cm,C=[D]∈C 0 如果A的前F列线性相关,那么只需对A 作列变换使得前个列是线性无关的。然后重 复上面的过程即可。这样存在 P∈C Q∈C 且满足
1 , 0 r m r r n r r r I B P C C I D C − = = 如果 的前 列线性相关，那么只需对 作列变换使得前 个列是线性无关的。然后重 复上面的过程即可。这样存在 且满足 A r A r , m m n n P C Q C m n
「LD PAO= 00 从而 D P 00 P [D] 0 - BC
0 0 r I D PAQ = 从而 1 1 1 1 0 0 0 r r r I D A P Q I P I D Q BC − − − − = = =
其中 B= P ∈C 0 1D]g∈C 例:分别求下面三个矩阵的满秩分解
其中 例 ：分别求下面三个矩阵的满秩分解 1 1 , 0 r m r r r n r r I B P C C I D Q C − − = =
12101 12213 (1) 235 24314 4862810 00123 (2) 00246
1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 3 3 (1) 2 4 3 1 4 5 4 8 6 2 8 10 0 0 1 2 3 (2) 0 0 2 4 6
0 0-11 (3)0201 0302-2 解:(1)对此矩阵只实施行变换可以 得到
0 1 0 1 1 (3) 0 2 0 1 1 0 3 0 2 2 − − − 解 ：（1）对此矩阵只实施行变换可以 得到
0 24 22481 000 12362000 348 2350 00 00 1200 00
1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 3 3 2 4 3 1 4 5 4 8 6 2 8 10 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − − →
由此可知Rmnk(A)=2,且该矩阵第一列, 第三列是线性无关的。选取 12 B ∈C 4×2 23 2 46 120-1-11 2×6 001121 ∈C2
由此可知 ，且该矩阵第一列， 第三列是线性无关的。选取 Rank A( ) 2 = 4 2 2 2 6 2 1 1 1 2 2 3 4 6 1 2 0 1 1 1 , 0 0 1 1 2 1 B C C C = − − =
