《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第六章 矩阵函数

第六章矩阵函数 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义:已知A∈Cm和关于变量x的多项 式 f( x)三ax+a.1x+∴+C1x+ 0 那么我们称 f(a=aA"+aA"++aA+al 为A的矩阵多项式

第六章 矩阵函数 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义： 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 A 的矩阵多项式。 x 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 1 1 1 0 ( ) n n n n f A a A a A a A a I − = + + + + − n n A C  

设A为一个n阶矩阵,J为其 Jordan标准 形,则 A=PP=Pdiag(,5,,,,,JP = Diag(J1(λ),2(42),…,J(4)P 于是有

设 为一个 阶矩阵， 为其Jordan标准 形，则 于是有 A n J 1 1 1 2 1 1 1 2 2 diag( , , , ) diag( ( ), ( ), , ( )) r r r A PJP P J J J P P J J J P    − − − = = =

f(a)=anA+am-A"+.+a,A+aol a, (Pp-1+an-(PJP-l)m-1 +a1(PP)+a01 P(a Jn+an1J-1+…+a1+cnDP =P/()P Pdiag(f(o, f(,),,(D)P 我们称上面的表达式为矩阵多项式f(A)的 Jordan表示。其中

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) n n n n n n n n n n n n r f A a A a A a A a I a PJP a PJP a PJP a I P a J a J a J a I P Pf J P Pdiag f J f J f J P − − − − − − − − − − − − = + + + + = + + + + = + + + + = = 我们称上面的表达式为矩阵多项式 的 Jordan表示。其中 f A( )

J(4)= (i=1,2,…,r) k 2k-1 47-1k-1+1 k k k-1 k d.×d

1 ( ) ( 1, 2, , ) 1 i i i i i i i d d J i r          = =         1 1 1 1 1 1 ( ) i i i i k k d k d i k i k i k k i i i k k i k i d d c c J c        − − − + −        =        

f()f(2)… 八4(4 (a1-1) f(J)= f(1) f(4,) f(1 例已知多项式 f(x)=x4-2x3+x-1 与矩阵

' ( 1) ' 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) i i i d i i i i i i i i d d f f f d f J f f f       −      −   =           例 已知多项式 与矩阵 4 3 f x x x x ( ) 2 1 = − + −

0 332 86 0-5 求f(A)。 解:首先求出矩阵的A的 Jordan标准形J 及其相似变换矩阵P

3 0 8 3 1 6 2 0 5 A     = −       − − 求 。 解：首先求出矩阵的 的Jordan标准形 及其相似变换矩阵 f A( ) A J P

100 00 041 0 P=130P-1=00 22 0-20 102 那么有

1 0 0 0 1 1 0 0 1 J   −   = −       − 0 4 1 1 3 0 0 2 0 P     =       − 1 3 0 1 2 0 0 1 2 1 0 2 P −     =  −          那么有

f(a)=pf()P 041f(-1) =1300f(-1)f(-1)00-1 0-200 0f(-1)102 f(-1)+4f(-1)0 8f(-1) 3f(-1)f(-1)6f(-1) 2f(-1) 0f(-1)-4f(-1)

1 ' ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) 3 0 1 0 4 1 ( 1) 0 0 2 1 3 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 1 2 0 2 0 0 0 ( 1) 1 0 2 ( 1) 4 ( 1) 0 8 ( 1) 3 ( 1) ( 1) 6 ( 1) 2 ( 1) 0 ( 1) 4 ( 1) f A Pf J P f f f f f f f f f f f f f − =       −   = − −     −        − −         − + − −   = − − − − − − − −  

350-72 271-54 18037 定义:已知A∈C和关于变量x的多 项式 f(x=anx"+amx"+.+a,x+a 如果f(x)满足f(A)=On,那么称f(x) 为矩阵A的一个零化多项式

35 0 72 27 1 54 18 0 37   − −   = − −       定义：已知 和关于变量 的多 项式 如果 满足 ，那么称 为矩阵 的一个零化多项式。 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − n n A C   x f x( ) ( ) n n f A O=  f x( ) A

定理:已知A∈C,f(4)为其特征多项式 则有 f(A=O 我们称此定理为 Hamilton- Cayley定理。 定义:已知A∈Cm,在A的零化多项式中 次数最低且首项系数为1的零化多项式称为x 的最小多项式,通常记为m(4) 最小多项式的性质:已知A∈Cn",那么 (1)矩阵A的最小多项式是唯一的。 (2)矩阵的任何一个零化多项式均能被m()

定理：已知 ， 为其特征多项式 ，则有 我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。 定义：已知 ，在 的零化多项式中， 次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 的最小多项式，通常记为 。 最小多项式的性质：已知 ，那么 （1）矩阵 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 n n A C   f ( )  ( ) n n f A O=  A A m( )  n n A C   n n A C   A m( ) 