《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵的基本概念

第二章-矩阵与矩阵的 Jordan标准形 矩阵的基本概念 定义:设an()(=1,2,…,m;=1,2,…,n) 为数域F上的多项式,则称 ()a12(x) n() A- ()a2(x n ●鲁 anm1()an2()…am2()

第二章 － 矩阵与矩阵的Jordan标准形 矩阵的基本概念 定义：设 为数域 上的多项式，则称 ( )( 1,2, , ; 1,2, , ) a i m j n ij  = = F 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m mn a a a a a a A a a a              =          

为多项式矩阵或矩阵。 定义如果矩阵A()有一个F阶(r≥1) 子式不为零,而所有y+1阶子式(如果有的话) 全为零,则称A(4)的秩为F,记为 ranka(n)=r 零矩阵的秩为0。 定义一个n阶元矩阵称为可逆的,如果有 个n阶矩阵B(4),满足 A(1)B()=B()A(x)=E 这里E是n阶单位矩阵。B()称为4(4)矩阵的 逆矩阵,记为A1(4)

为多项式矩阵或 矩阵。 定义 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话) 全为零，则称 的秩为 ，记为 零矩阵的秩为0。 定义 一个 阶 矩阵称为可逆的，如果有一 个 阶 矩阵 ，满足 这里 是 阶单位矩阵。 称为 矩阵的 逆矩阵，记为 。   A( )  r ( 1) r  r +1 A( )  r rank ( ) A r  = n  n  B( )  A B B A E ( ) ( ) ( ) ( )     = = E n B( )  A( )  1 A ( )  −

定理 n阶九矩阵A()可逆的充要必要是 detA()一个非零的常数。 定义下列各种类型的变换,叫做矩阵的初等变换 )矩阵的任二行(列)互换位置 (2)非零常数C乘矩阵的某一行(列); (3)矩阵的某一行(列)的()倍加到另一行(列)上去, 其中q()是的一个多项式。 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应 得三种λ矩阵得初等矩阵 P(i,,, P(i(c),P(i,j())

定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是 一个非零的常数。 定义 下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置； (2) 非零常数 乘矩阵的某一行(列)； (3) 矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去， 其中 是 的一个多项式。 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应 得三种 矩阵得初等矩阵 n  A( )  det ( ) A   c   ( )  P i j P i c P i j ( , ), ( ( )), ( , ( ))   ( )

定理对一个mxm的几矩阵A()的行作初等行变换, 相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A()。对A(4) 的列作初等列变换,相当于用相应的n阶初等矩阵右 乘A()。 定义如果A()经过有限次的初等变换之后变成B(4) ,则称A(4)与B(4)等价,记之为 A()=B(4) 定理A()与B(4)等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵P(4)与Q(4),使得 B()=P(A)A()Q(4)

定理 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换， 相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵右 乘 。 定义 如果 经过有限次的初等变换之后变成 ，则称 与 等价，记之为 m n   A( )  m A( )  A( )  A( )  n A( )  A( )  B( )  A B ( ) ( )   B( )  定理 与 等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵 与 ，使得 A( )  B( )  P( )  Q( )  B P A Q ( ) ( ) ( ) ( )     =

矩阵 Smith标准形的存在性 定理任意一个非零的m×n型的λ矩阵都等价于 个对角矩阵,即 d1() d2() A()= d,() 0 0

 矩阵Smith标准形的存在性 定 理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于 一个对角矩阵，即 m n   1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d A d          

其中r≥1,d(4)是首项系数为1的多项式且 d(4)d1(x)(i=1,2,…,r-1) 称这种形式的x矩阵为A()的Smth标准形 d1(,d2(x)…,d,(4)称为A()的不变因子 例1 1-222 A()=22- 1+2 将其化成 Smith标准形

其中 是首项系数为1的多项式且 称这种形式的 矩阵为 的Smith标准形。 称为 的不变因子。 1, ( ) i r d   1 ( ) ( ) ( 1,2, , 1) d d i r i i   + = −  A( )  1 2 ( ), ( ), , ( ) d d d   r A( )  例 1 2 2 2 2 1 ( ) 1 A             −   = −     + −   将其化成Smith标准形

解 1-22元 112+40 4(x)=42- +2x2-21+ +λx0 22 2+ 0 =0-23-x2+2-=0-23-2+4- 0-x4-x3-4-20-24-23-4-2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 3 2 4 3 2 1 1 0 ( ) 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 A                                         − +     = − − + − + −       +       − − + − − − + −       − − − − − − − −       解：

10 0 0 0 0--13-12+=0-2-23-2+2 0-2-14-3-400 22- 10 0 0 00x(+

3 2 3 2 2 4 3 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ( 1)                          − − − + − − − +     − − − − − −           +

例2 (+1) A() (+1) 将其化成 Smith标准形 解: (+1) A(2) (+1)

例 2 2 ( 1) ( ) ( 1) A        +   =       + 将其化成Smith标准形。 2 ( 1) ( ) ( 1) A        +   =       + 解：

x(+1) (+1) (+1) (2+2)1

2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) 1              +         +   +     − +