线性代数 居余马 胡金德林翠琴 王飞燕邢文训 清华大学出版社 0 020134706
线性代数 居余马 胡金德林翠琴 王飞燕邢文训 清华大学出版社
(京)新登字158号 内容简介 本书为高等院校理工科教材.全书共7章,内容包括:行列式;矩阵线 性方程组:向量空间与线性变换;特征值和特征向量·矩阵的对角化;二次型 及应用问题.书末附录中还介绍了内积空间·厄米特二次型;约当( Jordan) 标准形 本书内容丰富阐述简明扼要,层次清晰,可作为高等院校的教材或教 学参考书, 图书在版编目(CIP)数据 线性代数/居余马等编.一北京:清华大学出版社,1994 ISBN7-302-01698-4 线…Ⅱ.居….线性代数高等学校教材Ⅳ.0151.2 中国版本图书馆CIP数据核字(94)第14171号 出版者:清华大学出版社(北京清华大学校内,邮编100084) 印刷者:北京通县人民文学印刷厂 发行者:新华书店总店北京科技发行所 开本:850×11681/32印张:11.75字数:303千字 版次:1995年1月第1版1995年1月第1次印刷 书号:ISBN7-30201698-4/(·157 印数:0001-5000 定价:7.30元
序言 本书是根据全国工科数学课程指导委员会制定的《线性代数》 课程基本要求,以及我们多年来在清华大学讲授本课程的实际体 会编写而成的.本书适用于教学要求不同的院校和专业,课内学 时为35-72的都可选用本书作为教材 线性代数是一门基础数学课程,它的基本概念、理论和方法, 具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性;它的核心内容是研究 有限维线性空间的结构和线性空间的线性变换,由于数域F上 的n维线性空间V(F)与n维向量空间Fw是同构的,给定了n维 线性空间V(F)的一组基后,V(F)的线性变换与数城F上的n阶 矩阵一一对应,因此,在学时较少的情况下,教学的基本要求是:熟 练掌握η维向量的线性运算,理解线性相关性的理论,搞清R的 基、向量在基下的坐标、向量的内积运算及向量的长度与夹角等概 念;熟练掌握矩阵的基本运算和线性方程组的解的理论和求解方 法;掌握矩阵的特征值和特征向量、矩阵的对角化及二次型的标准 形和正定二次型的基本概念和理论在上述教学内容中,要注重 基本概念和理论,着重培养熟练的运算能力,适当地训练逻辑思维 和推理能力 关于教材内容,作了以下一些处理: 1关于行列式,采用简便的递归法来定义n阶行列式,并相 应地证明它的性质,这比用逆序法定义可节省一些学时 2关于矩阵,从高斯消元法入手,引进矩阵和初等变换的概 念,对于矩阵的运算,除了要熟练掌握加法、数乘、乘法求逆及转 置等基本运算,还要加强初等变换和矩阵分块运算,它们不仅是矩
阵运算的重要方法和技巧,而且在理论分析中也有重要意义 3关于线性方程组,将方程组放在矩阵之后讲解,可以充分 利用矩阵工具,使表述简明.向量的线性相关性的概念和矩阵的 秩的概念是这一章的难点,以三维几何向量在线性运算下的关系 作背景抽象出n维向量的线性相关性的概念,便于初学者理解这 个重要的概念,利用初等行变换不改变矩阵的行秩和列秩以及阶 梯形矩阵的行秩等于列秩,来证明A的列秩等于其行秩,这样容 易为读者所理解 4关于向量空间.重点放在搞清R的基本结构,以三维几 何向量为背景,一并提出R中的线性运算和内积运算,阐明R"的 基和向量在基下的坐标的概念以及向量的几何度量性,如果教学 学时允许的话,在RM的基础上再进一步讲授一般线性空间的概念 和理论,至于一般的欧氏空间和内积空间的概念,则把它放在附 录中,这是因为受一般工科院校的本课程学时所限,而不能列入教 学要求 5关于线性变换.以一元线性函数为背景抽象出n维向量 空间的线性变换的概念,并列举了CA.D中常用的线性变换的 例子,进而讲了线性变换的矩阵表示和线性变换的运算 6关于特征值和待征向量,书中只讲矩阵的特征值和特征向 量.深入讨论了矩阵可对角化的条件,学时少的重点掌握实对称 矩阵的对角化 7关于二次型,将其放在最后,目的是用已学过的知识,全 面地讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定·学时少的 只要掌握通过正交变换化二次型为标准形 8关于应用问题.书中专列一章应用问题,是为学有余力的 学生提供一些材料,使他们对线性代数应用的广泛性有所了解 本书的编排情况为 (1)正文分为基本部分、引伸和应用部分及附录·基本部分
共6章,引伸部分用打“共”的办法安排在有关章节 (2)习题分为基本题、打“辨”题和补充题.打“*”题主要是 一些证明题和引伸内容的训练题,补充题一般比打“”题更难一 些 对于课内不超过40学时的院校,我们建议以正文的基本部分 和习题的基本题作为讲授和训练的基本要求 本书由居余马(主编)与胡金德、林翠琴、王飞燕、邢文训合编, 是在居余马(主编)与胡金德合编的《线性代数及其应用》基础上 作了较大修改而写成的·第1章由王飞燕、第2章及附录B由胡 金德、第34章由居余马、第5,7章由林翠琴、第6章及附录A由 邢文训编写,最后由主编作了些修改而定稿。由于水平所限,不妥 或谬误之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正 编者 199年5月于清华园
目录 1行列式 (1) 1.1阶行列式的定义及性质 (1) 1.2n阶行列式计计算 (12) 1.3克莱姆(Cramer)法则 …(22) 附录性质1的证明双重连加号… …(27) 习题补充题答案(33) 2矩阵 …(42) 2.1高斯消元法 (42) 2.2矩阵的加法数量乘法乘法 (50 2.3矩阵的转置对称矩阵…… (63 2.4可逆矩阵的逆矩阵… …(65) 2.5矩阵的初等变换和初等矩阵… (70) 2.6分块矩阵… …(80) 习题补充题答案 …(91) 3线性方程组 (107) 3.1n维向量及其线性相关性 (107) 3.2矩阵的秩相抵标准形…(119) 3.3齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构(129) 3.4非齐次线性方程组有解的条件及解的结构…(134) 习题补充题答案… (140) 4向量空间与线性变换… (151) 4.1R的基与向量关于基的坐标 (151) 4.2R中向量的内积标准正交基和正交矩阵…(158)
4.3线性空间的定义及简单性质… (166) 4.4线性子空间… ……(169) 4.5线性空间的基维数向量的坐标 (175) 4.6向量空间的线性变换… …(182) 习题补充题答案 ……(200 5特征值和特征向量矩阵的对角化 (213) 5.1矩阵的特征值和特征向量相似矩(213) 5.2矩阵可对角化的条件… (222) 5.3实对称矩阵的对角化… (231) 习题补充题答案… (237) 6二次型 (245) 6.1次型的定义和矩阵表示合同矩阵…(245) 6.2化二次型为标准形… -(249) 6.3惯性定理和二次型的规范形(266 6.4正定二次型和正定矩阵 …(269) 6.5其它有定二次型(277 习题补充题答案 279) 7应用问题… (289) 7.1人口模型 (289) 7.2马尔可夫链…… …(297) 7.3投入产出数学模型… (302) 7.4图的邻接矩阵 (308) 7.5递归关系式的矩阵解法 …(311) 7.6矩阵分析(简介)及其在求解常系数线性微分方 程组中的应用… (313) 7.7不相容方程组的最小二乘解 (319) 习题补充题答案 (325) 附录A内积空间厄米特二次型… (334) Ⅵ
A.1实内积空间欧氏空间… (334) A.2度量矩阵和标准正交基………………(337) A.3复向量的内积酉空间……………(342) A.4酉矩阵和厄米特二次型 ……(345) 习题答案 ………………………………(347) 附录约当( Jordan)标准形(筒介)…………………(351) 习题答案…………………………………(360)
1行列式 在线性代数中,行列式是一个基本工具,讨论很多问题都要用 到它.在初等代数里,已经介绍过二、三阶行列式的定义、性质和 计算,现在我们要进一步讨论n阶行列式,本章主要内容阶行 列式定义及其性质;行列式的计算;求解一类非齐次线性方程组的 Cramer法则,以及由此得到的方程个数与未知量个数相同的齐次 线性方程组有非零解的必要条件 1.1n阶行列式的定义及性质 行列式的概念首先是在求解方程个数与未知量个数相同的一 次方程组时提出来的(以后常把一次方程组称为线性方程组)例 如对于一个二元一次方程组 a1x1十a1x2=b (1.1) 211 十a222=b2 用消元法求解,当a1a2-a12421≠0时,求得解为 b1a22 11 a 21 (1.2) 1221 a1422-a12221 人们从(1.2)式中发现,如果记 则(1.2)可以表示为: