微分方程的差分方法 问题: 、椭圆型方程 维问题两点边值问题 d(pa)+r业h +qu=f,(a<x<b) u(a)=a,u(b)=B 边值条件还可以有其式。 2二维问题二阶椭圆型方程边值题 o(p ox )+x(p)+qu=J,(x,y)∈ l(x,y)r=9(x,y),/为g-的边界 边值条件还有其它形式 更进一步提出三维问题略)
微分方程的差分方法 问题： 边值条件还可以有其它形式。 一维问题 两点边值问题 一、椭圆型方程 = = − + + = − ( ) , ( ) ( ) ,( ) 1. u a u b q u f a x b d x d u r d x d u p d x d 更进一步提出三维问题（略）。 边值条件还有其它形式。 为 的边界。 二维问题 二阶椭圆型方程边值问题 = + = + − − ( , ) ( , ), ( ) ( ) ,( , ) 2. u x y x y q u f x y y u p x y u p x
二、抛物型方程(热使方程 1一维线性问题 0-a(a(x,1))+d(x,1)=f(x,) l(x0)=(x) (0,t)=a(t),(1,)=a(t 0<x<1,0<t<T 以及三维问题等 2二维线性问题 0+ ala ou))=f(x, OX l(x,y,0)=0(x,y) u(r,y, tr=v(x, y) 0<t<T,(x,y)∈
二、抛物型方程（热传导方程） = = = + = − x t T u t t u t t u x x d x t u f x t x u a x t t x u 0 1,0 (0, ) ( ), (1, ) ( ). ( ,0) ( ) ( ( , ) ) ( , ) ( , ) 1. 一维线性问题 = = = + − 0 ,( , ) ( , , ) ( , ) ( , ,0) ( , ) ( ( ) ( )) ( , ) 2. t T x y u x y t x y u x y x y f x t y u a x y u a t x u 二维线性问题 以及三维问题等
、双曲型方 维线性问题对流扩散方程 C(x +b(x)ou a (a(x))=f(x,1) x l(x,0)=q(x) l(0,0)=a(t,(,t)=B() 0<x<1,0<t<T 2二维线性问题波动方程 以及三维问题等 2u,0)+(ag)=f(x,1) at 2 l(x2,y,0)=(x,y) (xy.0)=(xy) u(x,y, tr=g(x, y) 0<t<T,(x,y)∈[0,1×[o
三、双曲型方程 = = = = − + − x t T u t t u t t u x x f x t x u a x x x u b x t u c x 0 1,0 (0, ) ( ), (1, ) ( ). ( ,0) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( , ) 1. 一维线性问题 对流扩散方程 = = = = + − − 0 ,( , ) [0,1] [0,1]. ( , , ) ( , ) ( , ,0) ( , ) ( , ,0) ( , ) ( ( ) ( )) ( , ) 2. 2 2 t T x y u x y t g x y u x y x y t u x y x y f x t y u a x y u a t x u 二维线性问题 波动方程 以及三维问题等
算法的基本构造原理 1区域的网格化(网格剖分) 以矩形区域a,b×[c,d的矩形网格剖分为例 a+hi,yi =c+y, i=0: n,j=0:m
算法的基本构造原理 x a h i y c j i n j m a b c d i j , , 0 : , 0 : [ , ] [ , ] 1. = + = + = = 以矩形区域 的矩形网格剖分为例： 区 域 的网格化（网格剖分） (i,j)
2差分近似代替微分 例如: h (u1+1-21+4-1)=02(x)+O(h2) 2h )=2l(x1)+O(h2) 2 h i+1,j )=x2(x,y)+O(h 2l1+l1;1) 02 3(x,y1)+O(z2) 等等!
( 2 ) ( , ) ( ) 1 ( 2 ) ( , ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( 2 ) ( ) ( ) 1 2. 2 2 2 , 1 , 1 2 2 2 2 1, 1, 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 + − + = + − + = − = + − + = + + − + − + − + − i j i j i j i j i j i j i j i j i i i i i i i u x y y u u u u x y h x u u u h u x h d x d u u h u x h d x d u u u h 例如： 差分近似代替微分 等等！
§7.1两点边值问题的解法 1两点边值问题 Lu dx )+r2+qu=f,( dx a<x<b u(a)=a,u(b)= 的差分格式。 l+1- h i+1/2 h P;-1/2 ch lo =cu B (2) 截断误差?(u)=(Ll)l1-Lhl1=O(h2)
的差分格式。 两点边值问题 = = − + + = ( ) , ( ) ( ) ,( ) 1. u a u b q u f a x b d x d u r d x d u p d x d Lu §7.1 两点边值问题的解法 (1) i i i i i i i i i i i h i i q u f h u u r h u u p h u u p h L u + = − + − − − − + − − − + + 2 [ ] 1 1 1 1 1/ 2 1 1/ 2 ( ) ( ) ( ) 2 截断误差Ri u = Lu i − Lh ui = h = = (2) u un , 0
由式(1)和(2)得到线性方程组: a1l1+b2-c1+1=d1=1:n-1 a,un B 其中 p-1/2/h+ b2=2(PD1+12+p-12)/h+2hq1 i+1/2 /h-r; d;=2hf 其它边值条件下的计算格式(略)
= = − = + + = + = = − + − = = − + + − − − + i i i i i i i i i i i i n i i i i i i i d hf c p h r b p p h h q a p h r u u a u b u c u d i n 2 2 / 2( )/ 2 2 / , , 1: 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 1 1 其 中 由式（1）和（2）得到线性方程组： 其它边值条件下的计算格式（略）
2两点边值问题 f(x, u, u,a<x< b u(a)=a,u(b)=B 的求解方法。 差分法 hh ]=f(x,l4 2h )…(1) B (2) 解上述非线性方程组即得 解非线性方程组是一个很困难的事,下面给出另一解 法—称为打靶法
的求解方法。 两点边值问题 = = = ( ) , ( ) ( , , ),( ) 2. u a u b u f x u u a x b 差分法： ) (1) 2 [ ] ( , , 1 1 1 1 1 h u u f x u h u u h u u h i i i i i+ i i i− + − − = − − − − = = (2) u un , 0 解上述非线性方程组即得。 解非线性方程组是一个很困难的事，下面给出另一解 法—称为打靶法
把上述边值问题变为初始问题 u"=f(,u,u,(a<x<b) l(a)=a,(a) s待定 令=dudx v=f(x,u, v) u(a=a,v(a=s (a<x<b 对于给定的初始问题的觚(x,s)满足(b,s)=B
把上述边值问题变为初始问题： = = = = ( ) ( ) , ( ) ( , , ) a x b u a v a s v f x u v u v = = = s待 定 u a u a s u f x u u a x b ( ) , ( ) ( , , ),( ) 对于给定的s初始问题的解u(x,s),满 足u(b,s) = 。 令v=du/dx
§7,2椭圆型方程第一边值问题的解法 椭圆型方程边值问题 a)+2,( hu ll=f,(x,y)∈s2 l(x,y)=9(x,y),/为2的边界 、将区域网格化 包含区域2+/的最小矩形 [a,b]×x[c,d划分 +ih(h b i=0:n) C+/7(T ①,0 记v(x1,y的近似值n
§7.2 椭圆型方程第一边值问题的解法 = + = + − 为 的边界。 椭圆型方程边值问题 ( , ) ( , ), ( ) ( ) ,( , ) u x y x y q u f x y y u p x y u p x ( , ) . ( , 1: ). ( , 0 : ); [ , ] [ , ] i j i j j i u x y u j m m d c y c j i n n b a x a i h h a b c d 记 的近似值 划 分 包含区域 的最小矩形 一、将区域网格化 = − = + = = − = + = +
