达聞贝尔公式 这里我们将介绍一类典型的曲型方程--波 动方程,它可用来描述弹性体的振动、声波、电 磁波等波动的传播。在这里我们主要研宪一维波 动方程-猴振动方程的柯画同题。 考察自由振动方程 =0 at 方程(1)的特征线是两族直线 x-at=C1, x+ at =c2 (2)
达朗贝尔公式 这里我们将介绍一类典型的双曲型方程----波 动方程，它可用来描述弹性体的振动、声波、电 磁波等波动的传播。在这里我们主要研究一维波 动方程----弦振动方程的柯西问题。 考察自由弦振动方程 0 2 2 2 2 2 = − x u a t u （1） 1 2, x − at = c , x + at = c （2） 方程（1）的特征线是两族直线：
其中c1,2为任意常数,取这两族特征线为新 的坐标曲线,即作自变数变换: S=x-at, n=x+at (3) 方程(1)立即变为只含二阶混合俑导数的下述 标准形式 0 (4) 将方程(4)先对n积分一次,再对积分一次, 容易看出其解的一般形式为 l=F()+G(7 (5)
其中c1，c2为任意常数，取这两族特征线为新 的坐标曲线，即作自变数变换： = x − at, = x + at, （3） 方程（1）立即变为只含二阶混合偏导数的下述 标准形式： = 0. u （4） 容易看出其解的一般形式为 将方程（4）先对积分一次，再对积分一次， u = F() +G() （5）
阅到原来的变数κ及t,立即得到方程(1)的解的一 般形式即其通解为 (x1)=上(x-)+C(x+) (6) 其中F及G为任意的单变嶽的二阶连续可微函数。 由(6)式可见,自由猴振动方程(1)的解可以 表示为形如F(x-a)与G(x+an)的两个函数之和。 方程(1)的形如Ⅱ=F(x-m)或l=G(x+un)的解称为行浪 其中u=F(xm)表示一个在初始时刻0时为=F(x)的波 形,以速度m>0向右(即x轴正向)传播,而波形保持 不变,它称为右传播浪;而=G(x+m)则表示以速度a 向左传播的波,称为左传播浪
回到原来的变数x及t，立即得到方程（1）的解的一 般形式即其通解为 u(x,t) = F(x − at) +G(x + at). （6） 由（6）式可见，自由弦振动方程（1）的解可以 表示为形如F(x-at)与G(x+at)的两个函数之和。 其中u=F(x-at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波 形，以速度a>0向右（即x轴正向）传播，而波形保持 不变，它称为右传播波；而u= G(x+at)则表示以速度a 向左传播的波，称为左传播波。 其中F及G为任意的单变数的二阶连续可微函数。 方程（1）的形如u=F(x-at)或u= G(x+at)的解称为行波
振动方程的通解表达式(6)式说明 弦上的任意扰动总是以行浪的形式向左右两个方 向传播出去。 下面我们可以看到,通过把方程(1)的解表示 为向两个方向传播的行波之和,即表示为右传播波和 左传播波的迭加,可用来求一些定解问馺的解。这个 方法称为行浪法。 现在我们用行波法来求解猞振动方程的柯西问题。 0(t>0,-0<x<∞)(7) at at 0:=q(x (x)(-<x<∞) (8)
弦振动方程的通解表达式（6）式说明: 弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方 向传播出去。 下面我们可以看到，通过把方程（1）的解表示 为向两个方向传播的行波之和，即表示为右传播波和 左传播波的迭加，可用来求一些定解问题的解。这个 方法称为行波法。 = − = = = − − 0 : ( ), ( )( ) 0 ( 0, ) 2 2 2 2 2 x x t u t u x t x t u a t u （7） （8） 现在我们用行波法来求解弦振动方程的柯西问题
为此,要适当选取函数F及G,使由(6)式给出 的解满足初始条件(8)。将(6)代入(8),立即 可得 F(x)+G(x)=(x) (9) aF(x)+aG(x=y(x) (10) 将(9)式两端关于x求导一次得 F"(x)+G(x)=p(x) (11) 由(10)、(1)两式解得 F(x=(ao(x)-y(x)), 2a G"(x)=(a(x)+y(x) 2
为此，要适当选取函数F及G，使由（6）式给出 的解满足初始条件（8）。将（6）代入（8），立即 可得 '( ) '( ) ( ). ( ) ( ) ( ), aF x aG x x F x G x x − + = + = （9） （10） 将（9）式两端关于x求导一次得 F'(x) +G'(x) ='(x). （11） 由（10）、（11）两式解得 ( '( ) ( )). 2 1 '( ) ( '( ) ( )), 2 1 '( ) a x x a G x a x x a F x = + = −
再将以上两式关于积分一次就得到 F(x)=0(x) V(d5+c1, (12) 2a G(x)=o(x)+v(5)ds +c (13) 2a 其中c1与C2是常数。由(9),应有 C1+C,=0. (14) 将(12)、(13)式代入(6),并注意到 14),就得到
再将以上两式关于x积分一次就得到 ( ) . 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) , 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 0 1 0 d c a G x x d c a F x x x x = + + = − + （12） （13） 其中c1与c2是常数。由（9），应有 c1+c2=0. （14） 将（12）、（13）式代入（6），并注意到 （14），就得到
3(9(x-a)+q(x+a) l(x,)==( (15) x+at V(9)d5 2a 这个公式称为达朗贝尔公式 于是我们就得到如下定理 定理设∈C2(R),v∈C(R),那么柯西问题 (7)、(8)存在着唯一的解u(x,t),且此 解由达朗贝尔公式(15)给出
( ) . 2 1 ( ( ) ( )) 2 1 ( , ) + − + = − + + x a t x a t d a u x t x at x at （15） 这个公式称为达朗贝尔公式。 于是我们就得到如下定理 定理 解由达朗贝尔公式（ ）给出。 （ ）、（ ）存在着唯一的解 （ ），且此 设 （ ）， （ ），那么柯西问题 15 7 8 , 2 1 u x t C R C R
下面,我们举例求解猞振动方程的柯西问题 例1已知下列弦振动方程及其在无界区域t≥0, 0,-0<x<∞) t=0:L sinx(-0<x<∞) at
下面，我们举例求解弦振动方程的柯西问题 例1 方程的柯西问题 上满足的初始条件，即弦振动 已知下列弦振动方程及其在无界区域 − x t 0, = − = = = − − 0 : , sin ( ) 0 ( 0, ) 2 2 2 2 2 x x t u t u x t x t u a t u
解由达朗贝尔公式可得其解为 l(x,t)==(x-t)+(x+t)+ 2 Sin sds x+t x+ COS xX+— sin xsin t 2 下面的三维圜形给出了解的直观表达
解 由达朗贝尔公式可得其解为： + − = − + + + x t x t u x t x t x t sin d 2 1 (( ) ( )) 2 1 ( , ) cos ) 2 1 ( x t x t x + − = + − x sin x sin t 2 1 = + 下面的三维图形给出了解的直观表达
U(x,t=x+o. 5sin(x) sin(t) 颜色的深浅 代表u(x,t)的 高度 0 2 x(3…>3) 0->5)
颜色的深浅 代表u(x,t)的 高度