植物生长模型
植物生长模型
问题的提出 像人和动物生长依靠食物一样,植物生长主要依靠碳和 氮元素。植物需要的碳主要有大气提供,通过光合作用由叶 吸收;而氮有土壤提供,通过植物的根部吸收。植物吸收着 这些元素,在植物体内输送、结合导致植物生长 通过对植物生长过程的观察,我们可以发现以下几个基 本事实: (1)碳由叶吸收,氮由根吸收; (2)植物生长对碳氮元素的需求大致有一个固定比例; (3)碳可由叶部送到根部,氮也可又根部送到叶部; (4)在植物生长的每一时刻补充的碳元素的多少和它叶 系的尺寸有关,补充的氮与根系的尺寸有关
问题的提出 像人和动物生长依靠食物一样，植物生长主要依靠碳和 氮元素。植物需要的碳主要有大气提供，通过光合作用由叶 吸收；而氮有土壤提供，通过植物的根部吸收。植物吸收着 这些元素，在植物体内输送、结合导致植物生长。 通过对植物生长过程的观察，我们可以发现以下几个基 本事实： （1）碳由叶吸收，氮由根吸收； （2）植物生长对碳氮元素的需求大致有一个固定比例； （3）碳可由叶部送到根部，氮也可又根部送到叶部； （4）在植物生长的每一时刻补充的碳元素的多少和它叶 系的尺寸有关，补充的氮与根系的尺寸有关；
(5)植物生长过程中,叶系尺寸和根系尺寸维持着某种 均衡的关系 依据上述基本事实,避开其它复杂因素,我们考虑能否 建立一个描述单枝植物在光合作用和从土壤吸收养料情形下 的生长规律的数学模型
（5）植物生长过程中，叶系尺寸和根系尺寸维持着某种 均衡的关系。 依据上述基本事实，避开其它复杂因素，我们考虑能否 建立一个描述单枝植物在光合作用和从土壤吸收养料情形下 的生长规律的数学模型
植物生长过程中的能量转换 植物组织生长所需要的能量是由促使从大气中获得碳和 从土壤中获得氮相结合的光合作用提供的。我们建立的模型 主要考虑这两种元素,不考虑其他的化学物质 叶接受光照同时吸收二氧化碳通过光合作用形成糖,糖 能量的来源。有以下几方面的用途: 工作能——根部吸收氮和在植物内部输送碳和氮需要的 能量; 转化能—将氮转化为蛋白质和将葡萄糖转化为其他糖 类和脂肪所需的能量; 结合能—将大量分子结合成为组织需要的能量 维持能——用来维持很容易分解的蛋白质结构稳定的能 量
植物生长过程中的能量转换 植物组织生长所需要的能量是由促使从大气中获得碳和 从土壤中获得氮相结合的光合作用提供的。我们建立的模型 主要考虑这两种元素，不考虑其他的化学物质。 叶接受光照同时吸收二氧化碳通过光合作用形成糖，糖 是能量的来源。有以下几方面的用途： 工作能——根部吸收氮和在植物内部输送碳和氮需要的 能量； 转化能——将氮转化为蛋白质和将葡萄糖转化为其他糖 类和脂肪所需的能量； 结合能——将大量分子结合成为组织需要的能量； 维持能——用来维持很容易分解的蛋白质结构稳定的能 量
植物的每个细胞中,碳和氮所占的比例大体上是固定 的新产生的细胞中碳和氮也保持相同的比例。碳和氮在植 物的其他部分之间运动。 通常植物被分为根、茎、叶三部分,但我们将其简化 为两部分,生长在地下的根部和生长在地上的叶部。 现在我们分三阶段,又浅入深的逐步建立和完善模型 每一阶段都建立一个独立的模型
植物的每个细胞中，碳和氮所占的比例大体上是固定 的新产生的细胞中碳和氮也保持相同的比例。碳和氮在植 物的其他部分之间运动。 通常植物被分为根、茎、叶三部分，但我们将其简化 为两部分，生长在地下的根部和生长在地上的叶部。 现在我们分三阶段，又浅入深的逐步建立和完善模型 每一阶段都建立一个独立的模型
初步模型 若不区分植物的根部和叶部,也不分碳和氮、笼统地将生 长过程视作植物吸收养料长大,就可以得到一个简单的数学模 型 设植物的质量为W,体积为V植物吸收的养料和体积成正比 dw k 其解为 W=We p (3.2 其中为初始时植物的质量
初步模型 若不区分植物的根部和叶部，也不分碳和氮、笼统地将生 长过程视作植物吸收养料长大，就可以得到一个简单的数学模 型。 设植物的质量为W,体积为V,植物吸收的养料和体积成正比， 即： (3.1) 其解为 (3.2) 其中 为初始时植物的质量 W k dt dW = t k W W e = 0 W0
解(3.2)是个指数函数,随时间的增长可无限地增长, 这是不符实际的。为了反映着现象,我们将k取为变量,随 着植物的长大而变小。如k=a-bW,a,b为正数。方程化为 dr(a-bW) 令k=一=上式可写为 W W 若初值为V,(3.4)的解为
解（3.2)是个指数函数，随时间的增长可无限地增长， 这是不符实际的。为了反映着现象，我们将k取为变量，随 着植物的长大而变小。如k=a-bW，a,b为正数。方程化为 (3.3) 令 上式可写为 (3.4) 若初值为 ,(3.4)的解为 W a bW dt dW = ( − ) b k W a k m = , = W W W k dt dW m = (1− ) W0
W(t)= W 显然,W(t是t的单调增加函数,且当t→∞时,W()→Wm, 即W。的实际意义是植物的极大质量
显然，W(t)是t的单调增加函数，且当t→∞时，W(t)→ , 即 的实际意义是植物的极大质量。 m kt m e W W W W t − − − = 1 (1 ) ( ) 0 Wm Wm
考虑碳氮需求比例的模型 基本假设 上节的初步模型不分别考察根叶的功能,也不区分植物 生长对碳氮的需求。为了改进模型,我们放松上述第二个假 设,既考虑生长过程中对碳和氮需求的比例。假设: (1)将植物视作一个整体,不区分根和业的功能; (2)植物生长不能缺少碳和氮; (3)植物生长消耗的碳不仅依赖于供给的碳,也取决于供 给的氮; (4)总能量的一定百分比用于结合产生新的组织
考虑碳氮需求比例的模型 基本假设 上节的初步模型不分别考察根叶的功能，也不区分植物 生长对碳氮的需求。为了改进模型，我们放松上述第二个假 设，既考虑生长过程中对碳和氮需求的比例。假设： （1）将植物视作一个整体，不区分根和业的功能； （2）植物生长不能缺少碳和氮； （3）植物生长消耗的碳不仅依赖于供给的碳，也取决于供 给的氮； （4）总能量的一定百分比用于结合产生新的组织
建立生长方程 设C()和N()分别为时刻植物中碳和氮的浓度。设植 物消耗碳的速率是(C,N),V为植物的体积 进一步假设任何新生的植物的组织中碳和氮的比例与 老的组织中的比例相同。设碳和氮的比例1:λ,那么植物 消耗氮的速率为λVf(C,N)。 另R1为结合能在总能量中所占比例,设r为植物干 组织含碳的千摩尔转化为植物质量的转化系数,那么生长 方程为: dw w(t) dt = Rf((t), N(t) (4.1)
建立生长方程 设C(t)和N(t)分别为时刻t植物中碳和氮的浓度。设植 物消耗碳的速率是Vf(C,N),，V为植物的体积。 进一步假设任何新生的植物的组织中碳和氮的比例与 老的组织中的比例相同。设碳和氮的比例1：λ，那么植物 消耗氮的速率为λVf(C,N)。 另 为结合能在总能量中所占比例，设r为植物干 组织含碳的千摩尔转化为植物质量的转化系数，那么生长 方程为： =r f(C(t),N(t)) (4.1) dt dW W (t) R1 R1