第十一章习题课
第十一章 习 题 课
主要内容 离散型随机变量及其分布律(列), 基本概念{连续型随机变量及其概率密度, 分布函数,随机变量函数 随机变量 随(及其分布基本计算 分布律,用分布函数计算概率 离散型:两点分布,二项分布, 机变量及其数字特 常见分布 泊松分布 连续型:均匀分布,正态分布 离散型、连续型随机变量的期望 数学期望{期望的性质与计算 随机变量函数的期望 征(随机变量 「离散型、连续型随机变量的方差 的数字特征方差 标准差,方差的性质与计算 矩原点矩,中心矩
一、主 要 内 容 随 机 变 量 及 其 数 字 特 征 随机变量 及其分布 随机变量 的数字特征 分布函数，随机变量函数 连续型随机变量及其概率密度 离散型随机变量及其分布律 列 , ( ), 基本概念 常见分布 连续型：均匀分布，正态分布 泊松分布 离散型：两点分布，二项分布， 基本计算 —— 分布律，用分布函数计算概率 随机变量函数的期望 期望的性质与计算 离散型、连续型随机变量的期望 数学期望 方差 矩 标准差，方差的性质与计算 离散型、连续型随机变量的方差 —— 原点矩，中心矩
随机变量及其分布 随机变量——随机取值的变量 随机变量取一个值或取一个区间上的值,是一个随机事件 离散型随机变量—随机变量的可能取值为有限 个或可列无穷多个 分布列用公式表示p=P(X=x)k=1,2, 用表格表示Xxx2 P 分布列的性质:性质1.pk≥0(k=1,2,…) 性质2.∑Pk=1
随机变量及其分布 随机变量 —— 随机取值的变量. 离散型随机变量 —— 随机变量的可能取值为有限 个或可列无穷多个. 随机变量取一个值或取一个区间上的值, 是一个随机事件. p = P(X = x ) k = 1 , 2 , . 分布列用公式表示 k k ， X x1 x2 xk P p1 p2 pk 分布列的性质： 1. p 0 (k = 1 , 2 , ) 性质 k 2. = 1 k k 性质 p 用表格表示
离散型随机变量的分布函数 F(x)=P(X≤x)=∑P x≤x 常见离散型分布 两点分布P(X=1)=p,P(X=0)=q (0<p<1,p+q=1) 二项分布(X~B(n,p) P(X=k)=C6p(1-p) (k=0,1,2,…,n;0<p<1) 泊松分布(X~P(孔) P(X=k) (k=0,1 k i
离散型随机变量的分布函数 = = x x k k F(x) P(X x) p 常见离散型分布 (0 1, 1) ( 1) , ( 0) + = = = = = p p q 两点分布 P X p P X q ( 0 , 1 , 2 , , 0 1) ( ) (1 ) ( ~ ( , )) = = = − − k n p P X k C p p X B n p k k n k n ； 二项分布 ( 0 , 1 , 2 , ) ! ( ) ( ~ ( ) ) = = e − k = k P X k X P k 泊松分布
连续型随机变量—对随机变量X,存在f(x)>0 0<x<+∞),对任意a≤b 有P(a<X≤b)=(x), f(x)称为概率密度 密度函数的性质:性质1.f(x)≥0; 性质2.「。f(x=1 连续型随机变量的分布函数 F(x)=P(X≤x)=J(
连续型随机变量 —— 密度函数的性质： 性质1. f (x) 0 ; 2. ( ) = 1 + − 性质 f x dx ( ) . ( ) ( ) , ( ) , , ( ) 0 称为概率密度 有 对任意 对随机变量 ，存在 f x P a X b f x dx x a b X f x b a = − + 连续型随机变量的分布函数 − = = x F(x) P(X x) f (t)dt
常见连续型分布 均匀分布(X~U(a,b) ,a≤x≤b f(x)=b-a 其它
均匀分布 (X ~ U(a , b) ) 常见连续型分布 = − 0 , 其它 , 1 ( ) a x b f x b a
正态分布 般正态分布(X~N(,O2) x-p f(x-、2兀σ 00<x<+∞) 标准正态分布(X~N(0,1) f(x) e2(-∞0<x<+∞) 分布函数为o(x)=」 dt 2丌
( ) 2 1 ( ) ( ~ ( , )) 2 2 ( ) 2 1 2 = − + − − f x e x X N x 一般正态分布 正态分布 − − = x t x e dt 2 2 2 1 ( ) 分布函数为 ( ) 2 1 ( ) ( ~ (0 , 1)) 2 2 = − + − f x e x X N x 标准正态分布
标准正态分布的计算公式 (-x)=1-(x P(≤X≤b)=(b)-(a) P(X>x)=1-(x) 般正态分布与标准正态分布的关系 X~N(u,a2),Y~N(0,1) X-A_y, X=or+u P(X≤x)=P(Y≤ x-)=( P(asX≤b)= b-p-①
一般正态分布与标准正态分布的关系 标准正态分布的计算公式 = = + − Y X Y X ， ( ) ( ) ( ) − − − = b a P a X b P(a X b) =(b) −(a) P(X x) = 1−(x) (−x) = 1−(x) ~ ( , ) ~ (0 , 1) 2 X N ，Y N ( ) ( ) ( ) − = − = x x P X x P Y
分布函数的性质 性质1.0≤F(x)≤1 性质2.P(aa=1-P(Xsa=1-F(a) 对连续型随机变量 P(X≤a)=P(X<a)=F() P(X=a)=0 随机变量的函数—设y=f(x),当X=x时, Y=y,记为Y=f(X)
分布函数的性质 0 F(x) 1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F b F a P a X b P X b P X a = − = − P(X a) = 1− P(X a) = 1− F(a) 性质 2. 性质 1. P(X a) = P(X a) = F(a) 对连续型随机变量 P(X = a) = 0 随机变量的函数 —— , ( ) . ( ), Y y Y f X y f x X x = = = = 记为 设 当 时
随机变量的数字特征 数学期望(均值) 离散型随机 设X的分布列为 变量的均值 P(X=xk)=P(k=1,2,…) 则E(X)=∑ kPk 连续型随机 设X的密度为f(x) 变量的均值 则E(X)=」f(x)dx
随机变量的数字特征 数学期望 (均值) 离散型随机 变量的均值 k k k k k E X x p P X x p k X = = = = ( ) ( ) ( 1 , 2 , ), 则 设 的分布列为 —— 连续型随机 变量的均值 + − E X = xf x dx X f x ( ) ( ) ( ) 则 —— 设 的密度为