数学分析：导数的引出及导数的定义（电子教案）

电子教索:导数的引出及导数的定义 教学目的:让学生了解导数是怎么引出的,掌握导数的定义 教学要求:熟练的掌握导数定义及各种等价形式 三、教学主要内容: 第四章导数与微分 §1.导数的引进及导数的定义 导数的引进 1、速度问题: 平均速度:一汽车三小时走了120公里,则它的平均速度为=40公里 小时。即在时间t内,物体运动了距离s,则它的平均速度为下=3。 平均速度比较粗略,为了精确起见,还需要求物体的瞬时速度。瞬时速度 怎么定义,又如何求出呢?我们研究以下例子。 自由落体运动物体下落高度公式为s=g2。求下落t=1秒时的瞬时速度 我们可以现求出1秒到t秒间的平均速度 =s()-s()287、1 28=281 当t→l时,平均速度的极限值我们就定义它为t=1秒时的瞬时速度,于 是 1=lim v=lm s()-s0=m(+1g=g° 般地,求时刻t的速度,可以考虑当t变到t'时平均速度的极限值。这时 平均速度为 用记号M=t'-t,△s=s(t)-s(1),它们分别叫变量t的改变量和变量s的 改变量。 当t→t时,相当于M→0,这时 y=lim v=lim s(t)-s(1) =im=lim(r'+1)g=gt。 r→t t→t A→0△tt+t2 2.切线问题: y=f(x)的图形为曲线L。P是L上一点,坐标为(x2y),为了求出P点处 的曲线的切线,我们应先求出该点的切线斜率即可。为此,我们任取L上另一点 Q,它的横坐标为x+△x。作割线PQ,它与x轴夹角∠QPR用g来表示,则PQ 的斜率为tan n=C。由于AP=f(x),BO=f(x+Ax),AB=PR=Ax, QR=BQ-BR=f(x0+△x)-f(x),因此

电子教案：导数的引出及导数的定义 一、 教学目的：让学生了解导数是怎么引出的，掌握导数的定义。 二、 教学要求：熟练的掌握导数定义及各种等价形式 三、 教学主要内容： 第四章 导数与微分 §1. 导数的引进及导数的定义 导数的引进： 1、速度问题： 平均速度：一汽车三小时走了 120 公里，则它的平均速度为 40 3 120 = 公里 /小时。即在时间 t 内，物体运动了距离 s ，则它的平均速度为 t s v = 。 平均速度比较粗略，为了精确起见，还需要求物体的瞬时速度。瞬时速度 怎么定义，又如何求出呢？我们研究以下例子。 自由落体运动物体下落高度公式为 2 2 1 s = gt 。求下落 t =1 秒时的瞬时速度 我们可以现求出 1 秒到 t 秒间的平均速度 t g t t g t gt g t s t s v ( 1) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ( ) (1) 2 2 = + − − = − − = − − = ， 当 t →1 时，平均速度的极限值我们就定义它为 t =1 秒时的瞬时速度，于 是 t g g t s t s v v t t t t = + = − − = = → → → = ( 1) 2 1 lim 1 ( ) (1) lim lim 1 1 1 1 。 一般地，求时刻 t 的速度，可以考虑当 t 变到 t 时平均速度的极限值。这时 平均速度为 用记号 t = t −t ，s = s(t) − s(t) ，它们分别叫变量 t 的改变量和变量 s 的 改变量。 当 t →t 时，相当于 t →0 ，这时 t t g gt t s t t s t s t v v t t t t t t t t =  + =   =  −  − = = → →  → → ( ) 2 1 lim lim ( ) ( ) lim lim 0 。 2. 切线问题： y = f (x) 的图形为曲线 L 。 P 是 L 上一点，坐标为 ( , ) 0 0 x y ,为了求出 P 点处 的曲线的切线，我们应先求出该点的切线斜率即可。为此，我们任取 L 上另一点 Q ，它的横坐标为 x + x 0 。作割线 PQ ，它与 x 轴夹角 QPR 用  来表示，则 PQ 的斜率为 PR QR tan = 。由于 ( ) 0 AP = f x ， ( ) 0 BQ = f x + x ， AB = PR = x ， ( ) ( ) 0 0 QR = BQ − BR = f x + x − f x ，因此

DR f(xo+Ax)-f(xo) PR △x A 当Q点沿曲线L接近P点时,割线PQ逐渐变到切线PT的位置,这时p角 也逐渐接近b角,其极限就认为是切线的斜率,即 tan 0= lim f(xo+Ax)-/(xo) 导数的定义 许多科学和社会问题都可以归结为求函数改变量与自变量改变量之比的极 限问题,这个概念就是导数概念。 定义:y=f(x)在x点附近有定义,对自变量任一改变量Ax,函数改变量 为y=f(x+△x)-f(x0),若极限 rJ(x+△x)-f(x) 存在,称该极限值为f(x)在x点的导数。(或微商)记为f(x0)或y1、 ,也称∫(x)在x。点的导数存在或可导 如果f(x)在某区间D内每点的导数都存在,则D的每点x均可唯一的确定 导数值∫(x0),这时导数可以看作x的函数,称之为导函数或简称为导数。记为

PR QR tan = ＝ x f x x f x  ( +  ) − ( ) 0 0 。 当 Q 点沿曲线 L 接近 P 点时，割线 PQ 逐渐变到切线 PT 的位置，这时  角 也逐渐接近  角，其极限就认为是切线的斜率，即 x f x x f x x  +  − =  → ( ) ( ) tan lim 0 0 0  。 导数的定义： 许多科学和社会问题都可以归结为求函数改变量与自变量改变量之比的极 限问题，这个概念就是导数概念。 定义： y = f (x) 在 0 x 点附近有定义，对自变量任一改变量 x ，函数改变量 为 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ，若极限 x f x x f x x y x x  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，称该极限值为 f (x) 在 0 x 点的导数。（或微商）记为 ( ) 0 f  x 或 0 x x y =  、 0 dx x x dy = 、 0 dx x x df = ，也称 f (x) 在 0 x 点的导数存在或可导。 如果 f (x) 在某区间 D 内每点的导数都存在，则 D 的每点 0 x 均可唯一的确定 导数值 ( ) 0 f  x ，这时导数可以看作 x 的函数，称之为导函数或简称为导数。记为 y Q  T P  R 0 0 x A x B x

f(x)或y、中、d 即y=f(x) f(x+Ax-f(x) (x∈D) 从极限的定义可知lm(x+△)-/)和m(x+A)-/(x)存在,分别 称它们为f(x)在某区间D内每点的右导数和左导数。记为f(x),记为∫(x), 一般地它们不相等。但显然有 f(x)在x。点的导数存在∫(x)、f(x)存在且相等。 这里要注意的是极限m/(x+A)-/(x)的表达有许多种方式。例如 (1)若令x=x+Ax,则Ax=x-x,于是极限式可写成 ∫(x)=ln f(x)-f(x0) (2)△x的取值可正可负,因此极限式还可变化为 f(x)=lm ∫(x-△x)-f(x) (3)令Ax=h,极限式变化为y=f(x)=m(x+h)-f(x) 同学们不要被这些变化所迷惑。 四、重点和难点:导数的定义和定义的各种表示 五、提出的问题和思考题 思考:若f(x)在某区间D内每点的导数都存在,下面极限怎样用f(x)表 f(x+2Ax)-f(x) f∫( x-Ar f(x+△x)-f(x) im(x)-f(a)(f(a)存在) f∫(x)-f( f(O)存在 x 六、课外作业,P124习题1,4

( ) 0 f  x 或 y 、 dx dy 、 dx df ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x D x f x x f x y f x x   +  −  =  =  → 。 从极限的定义可知 x f x x f x x  +  −  →+ ( ) ( ) lim 0 和 x f x x f x x  +  −  →− ( ) ( ) lim 0 存在，分别 称它们为 f (x) 在某区间 D 内每点的右导数和左导数。记为 f (x) +  ，记为 f (x) −  ， 一般地它们不相等。但显然有 f (x) 在 0 x 点的导数存在  ( ) 0 f x +  、 ( ) 0 f x −  存在且相等。 这里要注意的是极限 x f x x f x x  +  −  → ( ) ( ) lim 0 的表达有许多种方式。例如 （1） 若令 x = x + x 0 ，则 0 x = x − x ，于是极限式可写成 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = → （2） x 的取值可正可负，因此极限式还可变化为 x f x x f x y f x x −  −  −  =  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 （3） 令 x = h ，极限式变化为 h f x h f x y f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  =  = → 同学们不要被这些变化所迷惑。 四、 重点和难点：导数的定义和定义的各种表示 五、 提出的问题和思考题 思考：若 f (x) 在某区间 D 内每点的导数都存在，下面极限怎样用 f (x) 表 示。 x f x x f x x  +  −  → ( 2 ) ( ) lim 0 x f x x f x x x  +  − −   → ( ) ( ) lim 0 x f x x f x x  +  −  → ( ) ( ) lim 0 x a f x f a x a − − → ( ) ( ) lim （ f (a) 存在） 2 ) 3 ( ) ( lim 0 x x f x f x − → ，（ f (0) 存在） 六、 课外作业，P124 习题 1，4