Hilbert23个数学问题 在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》 的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了 23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家 力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推 动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演 中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的 鼓舞。 希尔伯特的23个问题分属四大块:第1到第6问题是数学基础问题:第7 到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第 23问题属于数学分析。 [ol]康托的连续统基数问题 1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名 的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假 设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科恩( P Chen)证 明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。 在这个意义下,问题已获解决。 [02]算术公理系统的无矛盾性 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形 式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定 根茨( G Gentaen,l909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的 无矛盾性 [03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。 问题的意思是:存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四 面体,使这两组四面体彼此全等德恩( M Dehn)1900年已解决。 [04]两点间以直线为距离最短线问题。 此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件。1973 年,苏联数学家波格列洛夫( Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。 [05]拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。 这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。 1952年,由格里森( Gleason)、蒙哥马利( Montgomery)、齐宾( Zippin)共同 解决。1953年,日本的山迈英彦己得到完全肯定的结果 [06]对数学起重要作用的物理学的公理化。 1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量 子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。 [07]某些数的超越性的证明。 需证:如果a是代数数,B是无理数的代数数,那么a一定是超越数或至少 是无理数(例如,2和e)。苏联的盖尔芳德( Gelfond)1929年、德国的施奈 德( Schneider)及西格尔( Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越 数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法, [08]素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题
Hilbert 23 个数学问题 在 1900 年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》 的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了 23 个最重要的数学问题。这 23 个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家 力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推 动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演 中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的 鼓舞。 希尔伯特的 23 个问题分属四大块：第 1 到第 6 问题是数学基础问题；第 7 到第 12 问题是数论问题；第 13 到第 18 问题属于代数和几何问题；第 19 到第 23 问题属于数学分析。 [01]康托的连续统基数问题。 1874 年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名 的连续统假设。1938 年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假 设与 ZF 集合论公理系统的无矛盾性。1963 年，美国数学家科恩（P·Choen）证 明连续统假设与 ZF 公理彼此独立。因而，连续统假设不能用 ZF 公理加以证明。 在这个意义下，问题已获解决。 [02]算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形 式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔 1931 年发表不完备性定理作出否定。 根茨（G·Gentaen，1909-1945）1936 年使用超限归纳法证明了算术公理系统的 无矛盾性。 [03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。 问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四 面体，使这两组四面体彼此全等德恩（M·Dehn）1900 年已解决。 [04]两点间以直线为距离最短线问题。 此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973 年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。 [05]拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。 1952 年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同 解决。1953 年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。 [06]对数学起重要作用的物理学的公理化。 1933 年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量 子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。 [07]某些数的超越性的证明。 需证：如果 是代数数， 是无理数的代数数，那么 一定是超越数或至少 是无理数（例如， 2 2 和 e ）。苏联的盖尔芳德（Gelfond）1929 年、德国的施奈 德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935 年分别独立地证明了其正确性。但超越 数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。 [08]素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼( Riemann)猜想、 哥德巴赫( Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫 猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润, [09]一般互反律在任意数域中的证明 1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷( E. Artin)各自给以基本 解决。而类域理论至今还在发展之中, [10]能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解? 求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家) 方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯( Davis)、普特南( Putnam)、罗宾 逊( Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔( Baker)、费罗斯( Philos) 对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证 明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价 值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。 [11]一般代数数域内的二次型论。 德国数学家哈塞(Hase)和西格尔( Siegel)在20年代获重要结果。60年 代,法国数学家魏依( A Weil)取得了新进展。 [12]类域的构成问题。 即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有 些零星结果,离彻底解决还很远 [13]一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 七次方程x2+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于方程中的3个参数a、b、c; x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题己接近解决。1957 年,苏联数学家阿诺尔德( Arnold)证明了任一在[o,n上连续的实函数f(x1,x2,x) 可写成形式∑h(5(x1,x2)x),这里h和5为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明 f(x,x,x)可写成形式∑b(5n(x)+52(x2)+52(x),这里h和5为连续实函数, 5的选取可与∫完全无关。1964年,维土斯金(Ⅴ ituskin)推广到连续可微情形, 对解析函数情形则未解决 [14]某些完备函数系的有限的证明。 即域K上的以x1x2…xn为自变量的多项式f(=1,…,m),R为Kx,…,xmn]上 的有理函数F(x1…xn)构成的环,并且F(f1…,fm)∈Kx1,…,x]试问R是否可 由有限个元素F2…,F的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本 数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决 [15]建立代数几何学的基础
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、 哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫 猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。 [09]一般互反律在任意数域中的证明。 1921 年由日本的高木贞治，1927 年由德国的阿廷（E·Artin）各自给以基本 解决。而类域理论至今还在发展之中。 [10]能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？ 求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约 210-290，古希腊数学家） 方程可解。1950 年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾 逊（Robinson）等取得关键性突破。1970 年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos） 对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970 年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证 明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价 值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。 [11]一般代数数域内的二次型论。 德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在 20 年代获重要结果。60 年 代，法国数学家魏依（A·Weil）取得了新进展。 [12]类域的构成问题。 即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有 一些零星结果，离彻底解决还很远。 [13]一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 七次方程 7 3 2 x ax bx cx + + + + =1 0 的根依赖于方程中的 3 个参数 a、b 、c ； x = x a b c ( , , ) 。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957 年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在 [0,1] 上连续的实函数 1 2 3 f x x x ( , , ) 可写成形式 9 1 2 3 1 ( ( , ), ) i i i h x x x = ，这里 i h 和 i 为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明 1 2 3 f x x x ( , , ) 可写成形式 7 1 1 2 2 3 3 1 ( ( ) ( ) ( )) i i i i i h x x x = + + ，这里 i h 和 i 为连续实函数， ij 的选取可与 f 完全无关。1964 年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形， 对解析函数情形则未解决。 [14]某些完备函数系的有限的证明。 即域 K 上的以 1 2 , n x x x 为自变量的多项式 ( 1, , ) i f i m = ，R 为 1 [ , , ] K x xm 上 的有理函数 1 ( , , ) F x xm 构成的环，并且 1 1 ( , , ) [ , , ] F f f K x x m m 试问 R 是否可 由有限个元素 1 , , F FN 的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本 数学家永田雅宜于 1959 年用漂亮的反例给出了否定的解决。 [15]建立代数几何学的基础
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,魏依1950年已解决。 注:舒伯特( Schubert)计数演算的严格基础。 个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直 线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以 严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严 格的基础至今仍未建立。 [16]代数曲线和曲面的拓扑研究。 此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论 备ax/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置,其中X、Y是x、y的n 次多项式。对n=2(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952 年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,这个曾震动 时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董 金柱、叶彦谦1957年证明了E,不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富 金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史 松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例 子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是(1,3)结 构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第[16] 问题提供了新的途径。 [17]半正定形式的平方和表示 实系数有理函数f(x1…xn)对任意数组(x1…x)都恒大于或等于0,确定∫ 是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。 [18]用全等多面体构造空间 德国数学家比贝尔巴赫( Bieberbach)1910年,莱因哈特( Reinhart)1928 年作出部分解决。 [19]正则变分问题的解是否总是解析函数? 德国数学家伯恩斯坦( Bernstein,1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939) 已解决 [20研究一般边值问题 此问题进展迅速,己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展 [21具给定奇点和单值群的 Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明 此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔 ( H. Rohr)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅( Deligne) 作出了出色贡献。 [22]用自守函数将解析函数单值化。 此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P· Koebe)对一个变量情形 已解决而使问题的硏究获重要突破。其它方面尚未解决 [23]发展变分学方法的研究。 这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展
荷兰数学家范德瓦尔登 1938 年至 1940 年，魏依 1950 年已解决。 注：舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。 一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直 线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以 严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严 格的基础至今仍未建立。 [16]代数曲线和曲面的拓扑研究。 此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论 备 dx dy Y X / / = 的极限环的最多个数 N n( ) 和相对位置，其中 X 、Y 是 x 、y 的 n 次多项式。对 n = 2 （即二次系统）的情况，1934 年福罗献尔得到 N(2) 1 ；1952 年鲍廷得到 N(2) 3 ；1955 年苏联的波德洛夫斯基宣布 N(2) 3 ，这个曾震动一 时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董 金柱、叶彦谦 1957 年证明了 E2 不超过两串。1957 年，中国数学家秦元勋和蒲富 金具体给出了 n = 2 的方程具有至少 3 个成串极限环的实例。1978 年，中国的史 松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有 4 个极限环的具体例 子。1983 年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有 4 个极限环，并且是 (1,3) 结 构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第[16] 问题提供了新的途径。 [17]半正定形式的平方和表示。 实系数有理函数 1 ( , ) n f x x 对任意数组 1 ( , ) n x x 都恒大于或等于 0，确定 f 是否都能写成有理函数的平方和？1927 年阿廷已肯定地解决。 [18]用全等多面体构造空间。 德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910 年，莱因哈特（Reinhart）1928 年作出部分解决。 [19]正则变分问题的解是否总是解析函数？ 德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939） 已解决。 [20]研究一般边值问题。 此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。 [21]具给定奇点和单值群的 Fuchs 类的线性微分方程解的存在性证明。 此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于 1905 年、勒尔 （H·Rohrl）于 1957 年分别得出重要结果。1970 年法国数学家德利涅（Deligne） 作出了出色贡献。 [22]用自守函数将解析函数单值化。 此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907 年克伯（P·Koebe）对一个变量情形 已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。 [23]发展变分学方法的研究。 这不是一个明确的数学问题。20 世纪变分法有了很大发展